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Colorado State University

1. Eddy, Thomas D. Improved stick number upper bounds.

Degree: MS(M.S.), Mathematics, 2019, Colorado State University

A stick knot is a mathematical knot formed by a chain of straight line segments. For a knot K, define the stick number of K, denoted stick(K), to be the minimum number of straight edges necessary to form a stick knot which is equivalent to K. Stick number is a knot invariant whose precise value is unknown for the large majority of knots, although theoretical and observed bounds exist. There is a natural correspondence between stick knots and polygons in R3. Previous research has attempted to improve observed stick number upper bounds by computationally generating such polygons and identifying the knots that they form. This thesis presents a new variation on this method which generates equilateral polygons in tight confinement, thereby increasing the incidence of polygons forming complex knots. Our generation strategy is to sample from the space of confined polygons by leveraging the toric symplectic structure of this space. An efficient sampling algorithm based on this structure is described. This method was used to discover the precise stick number of knots 935, 939, 943, 945, and 948. In addition, the best-known stick number upper bounds were improved for 60 other knots with crossing number ten and below. Advisors/Committee Members: Shonkwiler, Clayton (advisor), Adams, Henry (committee member), Chitsaz, Hamid (committee member).

Subjects/Keywords: knot theory; stick number; toric symplectic manifold; polygon index; edge number; symplectic geometry

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APA (6th Edition):

Eddy, T. D. (2019). Improved stick number upper bounds. (Masters Thesis). Colorado State University. Retrieved from http://hdl.handle.net/10217/195411

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Eddy, Thomas D. “Improved stick number upper bounds.” 2019. Masters Thesis, Colorado State University. Accessed July 20, 2019. http://hdl.handle.net/10217/195411.

MLA Handbook (7th Edition):

Eddy, Thomas D. “Improved stick number upper bounds.” 2019. Web. 20 Jul 2019.

Vancouver:

Eddy TD. Improved stick number upper bounds. [Internet] [Masters thesis]. Colorado State University; 2019. [cited 2019 Jul 20]. Available from: http://hdl.handle.net/10217/195411.

Council of Science Editors:

Eddy TD. Improved stick number upper bounds. [Masters Thesis]. Colorado State University; 2019. Available from: http://hdl.handle.net/10217/195411

2. Istrati, Nicolina. Conformal structures on compact complex manifolds : Structures conformes sur les variétés complexes compactes.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2018, Sorbonne Paris Cité

Dans cette thèse on s’intéresse à deux types de structures conformes non-dégénérées sur une variété complexe compacte donnée. La première c’est une forme holomorphe symplectique twistée (THS), i.e. une deux-forme holomorphe non-dégénérée à valeurs dans un fibré en droites. Dans le deuxième contexte, il s’agit des métriques localement conformément kähleriennes (LCK). Dans la première partie, on se place sur un variété de type Kähler. Les formes THS généralisent les formes holomorphes symplectiques, dont l’existence équivaut à ce que la variété admet une structure hyperkählerienne, par un théorème de Beauville. On montre un résultat similaire dans le cas twisté, plus précisément: une variété compacte de type kählerien qui admet une structure THS est un quotient fini cyclique d’une variété hyperkählerienne. De plus, on étudie sous quelles conditions une variété localement hyperkählerienne admet une structure THS. Dans la deuxième partie, les variétés sont supposées de type non-kählerien. Nous présentons quelques critères pour l’existence ou non-existence de métriques LCK spéciales, en terme du groupe de biholomorphismes de la variété. En outre, on étudie le problème d’irréductibilité analytique des variétés LCK, ainsi que l’irréductibilité de la connexion de Weyl associée. Dans un troisième temps, nous étudions les variétés LCK toriques, qui peuvent être définies en analogie avec les variétés de Kähler toriques. Nous montrons qu’une variété LCK torique compacte admet une métrique de Vaisman torique, ce qui mène à une classification de ces variétés par le travail de Lerman. Dans la dernière partie, on s’intéresse aux propriétés cohomologiques des variétés d’Oeljeklaus-Toma (OT). Plus précisément, nous calculons leur cohomologie de de Rham et celle twistée. De plus, on démontre qu’il existe au plus une classe de de Rham qui représente la forme de Lee d’une métrique LCK sur un variété OT. Finalement, on détermine toutes les classes de cohomologie twistée des métriques LCK sur ces variétés.

In this thesis, we are concerned with two types of non-degenerate conformal structures on a given compact complex manifold. The first structure we are interested in is a twisted holomorphic symplectic (THS) form, i.e. a holomorphic non-degenerate two-form valued in a line bundle. In the second context, we study locally conformally Kähler (LCK) metrics. In the first part, we deal with manifolds of Kähler type. THS forms generalise the well-known holomorphic symplectic forms, the existence of which is equivalent to the manifold admitting a hyperkähler structure, by a theorem of Beauville. We show a similar result in the twisted case, namely: a compact manifold of Kähler type admitting a THS structure is a finite cyclic quotient of a hyperkähler manifold. Moreover, we study under which conditions a locally hyperkähler manifold admits a THS structure. In the second part, manifolds are supposed to be of non-Kähler type. We present a few criteria for the existence or non-existence for special LCK metrics, in terms of the group of…

Advisors/Committee Members: Moroianu, Andrei (thesis director).

Subjects/Keywords: Forme holomorphe symplectique; Variété hyperkählerienne; Métrique localement conformément kählerienne; Métrique de Vaisman; Variété d’Oeljeklaus-Toma; Cohomologie twistée; Holomorphic symplectic form; Hyperkähler manifold; Locally conformally Kähler metric; Vaisman metric; Toric geometry; Oeljeklaus-Toma manifold; Twisted cohomology

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APA (6th Edition):

Istrati, N. (2018). Conformal structures on compact complex manifolds : Structures conformes sur les variétés complexes compactes. (Doctoral Dissertation). Sorbonne Paris Cité. Retrieved from http://www.theses.fr/2018USPCC054

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Istrati, Nicolina. “Conformal structures on compact complex manifolds : Structures conformes sur les variétés complexes compactes.” 2018. Doctoral Dissertation, Sorbonne Paris Cité. Accessed July 20, 2019. http://www.theses.fr/2018USPCC054.

MLA Handbook (7th Edition):

Istrati, Nicolina. “Conformal structures on compact complex manifolds : Structures conformes sur les variétés complexes compactes.” 2018. Web. 20 Jul 2019.

Vancouver:

Istrati N. Conformal structures on compact complex manifolds : Structures conformes sur les variétés complexes compactes. [Internet] [Doctoral dissertation]. Sorbonne Paris Cité; 2018. [cited 2019 Jul 20]. Available from: http://www.theses.fr/2018USPCC054.

Council of Science Editors:

Istrati N. Conformal structures on compact complex manifolds : Structures conformes sur les variétés complexes compactes. [Doctoral Dissertation]. Sorbonne Paris Cité; 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018USPCC054

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