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1. Jobson de Queiroz Oliveira. Propriedades estocÃsticas em variedades riemannianas.

Degree: PhD, 2012, Universidade Federal do Ceará

Esta tese teve dois objetos de estudo: propriedades estocÃsticas em uma variedade Riemanniana, a saber, Completude EstocÃstica, Parabolicidade e propriedade Feller, e a geometria do tensor de Bakry-Emery. Na primeira parte da tese estudamos tais propriedades estocÃsticas no contexto de submersÃes Riemannianas e imersÃes isomÃtricas, tendo como ponto de partida o trabalho de Pigola e Setti [28] sobre a propriedade Feller. No nosso primeiro resultado, provamos que se uma imersÃo isomÃtrica em uma variedade Cartan-Hadamard possui vetor curvatura mÃdia com norma limitada entÃo a imersÃo à Feller. Um anÃlogo desse resultado jà era conhecido para o caso de completude estocÃstica [30]. Em seguida estabelecemos condiÃÃes necessÃrias e suficientes para que uma submersÃo seja estocasticamente completa (respec. parabÃlica), a saber, se uma submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e o espaÃo total à estocasticamente completo (respec. parabÃlico) entÃo a base à estocasticamente completa (respec. parabÃlica). Reciprocamente, se a submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e compacta e a base à estocasticamente completa (respec. parabÃlica) entÃo o espaÃo total à estocasticamente completo (respec. parabÃlico). Finalmente provamos que uma submersÃo Riemanniana tem fibra mÃnima e compacta entÃo o espaÃo total Âe Feller, se, e somente se, a base à Feller. Na segunda parte desta tese estudamos o tensor de Bakry-Emery Ricci, Ricf, que à uma extensÃo, no caso de variedades ponderadas, do tensor de Ricci. Estudamos a seguinte situaÃÃo: Ricci ≥ -cG, onde c à uma constante positiva e G ≥ O à uma funÃÃo suave. Esta limitaÃÃo nos permitiu obter algumas consequencias geomÃtricas e topolÃgicas, que passamos a descrever. Seja Mf uma variedade Riemanniana ponderada e po Є Mf fixado. Nosso primeiro resultado à uma estimativa superior, fora da bola geodÃsica de raio ro, para o Laplaciano ponderado da funÃÃo distÃncia r ao ponto po, mf, em termos da integral da funÃÃo G. A primeira consequÃncia dessa estimativa à uma estimativa para o volume ponderado Volf (B(R)) de uma bola geodÃsica de raio R em termos da integral da funÃÃo G. A estimativa de mf, juntamente com a hipÃtese de Æ ser radial e Әr Æ ≥ -a,a ≥ 0 (ou | Æ|≤ k) tambÃm nos permite demonstrar um teorema de comparaÃÃo entre mf e maG, Laplaciano da funÃÃo distÃncia no modelo de curvatura aG, bem como um teorema de comparaÃÃo entre o volume ponderado de uma bola geodÃsica de raio R em Mf, VolÆ(B(R)), e o volume da bola geodÃsica de raio R no modelo MaG, de curvatura aG. Utilizando uma versÃo ponderada da fÃrmula de Bochner provamos que, se Ricci ≥ Gâ entÃo Mf satisfaz o princÃpio do mÃximo de Omori-Yau, onde G à funÃÃo suave, positiva, nÃo decrescente e tal que G-1 nÃo à integrÃvel. Em particular concluÃmos que Mf à estocasticamente completa. O prÃximo resultado que obtivemos estende, para o tensor Ricf, um teorema de Myers devido a Ambrose [1]. Para tanto, uma hipÃtese sobre a funÃÃo Æ foi necessÃria. Como aplicaÃÃo, estendemos um resultado de… Advisors/Committee Members: Jorge Herbert Soares de Lira, Paolo Piccione, Gregorio Pacelli Feitosa Bessa, Pedro Antonio Hinojosa Vera, LuquÃsio Petrola de Melo Jorge.

Subjects/Keywords: GEOMETRIA DIFERENCIAL; submersÃes riemanianas; imersÃes isomÃtricas; tensor de Ricci; bola geodÃsica; Riemannian submersions; isometric immersion; Ricci tensor; geodesic ball; ImersÃes (MatemÃtica)

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APA (6th Edition):

Oliveira, J. d. Q. (2012). Propriedades estocÃsticas em variedades riemannianas. (Doctoral Dissertation). Universidade Federal do Ceará. Retrieved from http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=9163 ;

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Oliveira, Jobson de Queiroz. “Propriedades estocÃsticas em variedades riemannianas.” 2012. Doctoral Dissertation, Universidade Federal do Ceará. Accessed December 01, 2020. http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=9163 ;.

MLA Handbook (7th Edition):

Oliveira, Jobson de Queiroz. “Propriedades estocÃsticas em variedades riemannianas.” 2012. Web. 01 Dec 2020.

Vancouver:

Oliveira JdQ. Propriedades estocÃsticas em variedades riemannianas. [Internet] [Doctoral dissertation]. Universidade Federal do Ceará 2012. [cited 2020 Dec 01]. Available from: http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=9163 ;.

Council of Science Editors:

Oliveira JdQ. Propriedades estocÃsticas em variedades riemannianas. [Doctoral Dissertation]. Universidade Federal do Ceará 2012. Available from: http://www.teses.ufc.br/tde_busca/arquivo.php?codArquivo=9163 ;

2. Gorine, Mohammed. Influence de la courbure sur la taille du barycentre convexe dans les variétés différentiables : Curvature influence on the size of convex barycenter in differentiable manifolds.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2015, Strasbourg; Université Abou Bekr Belkaid (Tlemcen, Algérie)

Si µ est une mesure de probabilité à support compact dans uns espace vectoriel ou affine de dimension finie, le barycentre (ou centre de gravité) de µ est un point bien défini de l’espace. Mais des difficultés surgissent lorsque l’espace est remplacé par une variété riemannienne M ; dans ce cas, même en se restreignant aux variétés convexes (c’est-à-dire deux dont points quelconques sont toujours joints par une géodésique et une seule) et aux mesures à support fini, il est en général impossible d'assigner à chaque probabilité un barycentre de façon que, d'une part,pour tous λϵ [0; 1] et x et y dans M, le barycentre de µ = (1- λ ) δˣ+ λ δy soit toujours le point γ(λ), sur la géodésique telle que γ (0) = x et γ (1) = y, et que, d'autre part, soit préservée la propriété d'associativité (pour faire une moyenne, on peut commencer par faire des moyennes partielles). Dés que la mesure µ est portée par au moins trois points non tous situées sur une même géodésique, il y a de multiples façons différentes de définir son barycentre comme barycentre de barycentres partiels de barycentres partiels etc., chaque opération élémentaire ne faisant intervenir que deux points. On obtient ainsi tout un ensemble de points de M, les barycentres itérés de µ . Pour des probabilités plus générales, on appelle barycentre convexe de µ l'ensemble b(µ) des points x de M qui sont limites d'une suite (xn), ou chaque xn est un barycentre itéré d'une probabilité µn à support fini, les mesures µn tendant vers µ.

If μ is a probability measure carried on a small in a finite-dimension vectorial or affine space, the μ- barycenter (center of gravity) is a well-defined point in space. Nevertheless, difficulties arise when space is changed by Riemannian manifold M. In this case, even if we limit to convex manifolds (i.e : when any two points are joined by one geodesic and just one) and to finite-support measures, it’s, in general impossible to attribute a barycenter to each probability, in such a way, on one hand, whetever λϵ [0; 1] and x and y in M, the barycenter of µ = (1- λ ) δˣ+ λ δy will be always the point γ(λ) of the geodesic such that γ (0) = x et γ (1) =y, and on another hand, the associative property will be maintained (to make a mean, we can begin by doing partial means). Once the measure μ is carried by at least three points which are not all localed on the same geodesic, there are different manners to define its barycenter as one of partial barycenters of partial barycenters and so on, in which each elementary operation includes only two points. Thus, we get a whole set of set of points of M, the iterated barycenters of μ. For more general probabilities μ, we call convex barycenter of μ, the set b(μ) of points x of M which are limit of sequence (xn), in which each xn is an iterated barycenter of a finite support probability μn, the measure μn tending to μ.

Advisors/Committee Members: Emery, Michel (thesis director), Belkhelfa, Mohamed (thesis director).

Subjects/Keywords: Barycentre convexe; Barycentre exponentiel; Convexité riemannienne; Boules géodésiques; Espaces homogènes; Convex barycenter; Exponontial barycenter; Riemannian convexity; Geodesic ball; Homogenous spaces; 516

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APA (6th Edition):

Gorine, M. (2015). Influence de la courbure sur la taille du barycentre convexe dans les variétés différentiables : Curvature influence on the size of convex barycenter in differentiable manifolds. (Doctoral Dissertation). Strasbourg; Université Abou Bekr Belkaid (Tlemcen, Algérie). Retrieved from http://www.theses.fr/2015STRAD001

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Gorine, Mohammed. “Influence de la courbure sur la taille du barycentre convexe dans les variétés différentiables : Curvature influence on the size of convex barycenter in differentiable manifolds.” 2015. Doctoral Dissertation, Strasbourg; Université Abou Bekr Belkaid (Tlemcen, Algérie). Accessed December 01, 2020. http://www.theses.fr/2015STRAD001.

MLA Handbook (7th Edition):

Gorine, Mohammed. “Influence de la courbure sur la taille du barycentre convexe dans les variétés différentiables : Curvature influence on the size of convex barycenter in differentiable manifolds.” 2015. Web. 01 Dec 2020.

Vancouver:

Gorine M. Influence de la courbure sur la taille du barycentre convexe dans les variétés différentiables : Curvature influence on the size of convex barycenter in differentiable manifolds. [Internet] [Doctoral dissertation]. Strasbourg; Université Abou Bekr Belkaid (Tlemcen, Algérie); 2015. [cited 2020 Dec 01]. Available from: http://www.theses.fr/2015STRAD001.

Council of Science Editors:

Gorine M. Influence de la courbure sur la taille du barycentre convexe dans les variétés différentiables : Curvature influence on the size of convex barycenter in differentiable manifolds. [Doctoral Dissertation]. Strasbourg; Université Abou Bekr Belkaid (Tlemcen, Algérie); 2015. Available from: http://www.theses.fr/2015STRAD001

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