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Université Paris-Sud – Paris XI

1. Pirutka, Alena. Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée : Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2011, Université Paris-Sud – Paris XI

Dans cette thèse, on s'intéresse à des propriétés arithmétiques de variétés algébriques. Elle contient deux parties et huit chapitres que l'on peut lire indépendamment. Dans la première partie on étudie la R-équivalence sur les points rationnels des variétés algébriques. Dans le chapitre I.1 on établit que pour certaines familles projectives et lisses X→Y de variétés géométriquement rationnelles sur un corps local k de caractéristique nulle le nombre des classes de R-équivalence de la fibre Xy(k) est localement constant quand y varie dans Y(k). Dans le chapitre I.2 on s'intéresse à des variétés rationnellement simplement connexes. On établit que la R-équivalence est triviale sur de telles variétés définies sur C(t). Dans le chapitre I.3 on introduit une autre relation d'équivalence sur les points rationnels des variétés définies sur un corps muni d'une valuation discrète et on étudie quelques propriétés de cette relation d'équivalence. Dans le chapitre I.4 on étudie la R-équivalence sur les variétés rationnellement connexes définies sur les corps réels clos ou p-adiqument clos. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à l'étude de quelques questions liées à la cohomologie non ramifiée. Dans le chapitre II.1 on utilise le troisième groupe de cohomologie non ramifiée pour donner un exemple d'une variété projective et lisse géométriquement rationnelle X, définie sur un corps fini Fp, telle que l'application de groupes de Chow de codimension deux de la variété X dans le groupe de Chow de cycles de codimension deux sur la clôture algébrique, fixés par l’action de Galois, n'est pas surjective. Dans le chapitre II.2 on s'intéresse aux fibrations au-dessus d'une surface sur un corps fini dont la fibre générique est une variété de Severi-Brauer et on montre que le troisième groupe de cohomologie non ramifiée s'annule pour de telles variétés. Dans le chapitre II.3, on établit l'invariance birationnelle de certains termes de la suite spectrale de Bloch et Ogus pour des variétés sur un corps de dimension cohomologique bornée. Sur un corps fini, on relie un de ces invariants avec le conoyau de l'application classe de cycle l-adique pour les 1-cycles. Dans le chapitre II.4, on s'intéresse à “borner” la ramification des éléments des groupes de cohomologie Hr(K, Z/n), r>0, si K est le corps des fonctions d'une variété intègre définie sur un corps de caractéristique nulle k.

In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts, divided into eight chapters. The first part is devoted to the study of R-equivalence on rational points of algebraic varieties. In chapter I.1, we prove that for some families X→Y of smooth projective geometrically rational varieties defined over a finite extension of Qp, the number of R-equivalence classes on Xy(k) is a locally constant function on Y(k). In chapter I.2, we establish the triviality of R-equivalence for rationally simply connected varieties defined over C(t). In chapter I.3, we introduce and analyze a different…

Advisors/Committee Members: Colliot-Thélène, Jean-Louis (thesis director).

Subjects/Keywords: R-équivalence; Variétés rationnellement connexes; Groupes de Chow; Cohomologie non ramifiée; R-equivalence; Rationally connected varieties; Chow groups; Unramified cohomology

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APA (6th Edition):

Pirutka, A. (2011). Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée : Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology. (Doctoral Dissertation). Université Paris-Sud – Paris XI. Retrieved from http://www.theses.fr/2011PA112197

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Pirutka, Alena. “Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée : Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology.” 2011. Doctoral Dissertation, Université Paris-Sud – Paris XI. Accessed October 18, 2019. http://www.theses.fr/2011PA112197.

MLA Handbook (7th Edition):

Pirutka, Alena. “Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée : Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology.” 2011. Web. 18 Oct 2019.

Vancouver:

Pirutka A. Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée : Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Paris-Sud – Paris XI; 2011. [cited 2019 Oct 18]. Available from: http://www.theses.fr/2011PA112197.

Council of Science Editors:

Pirutka A. Deux contributions à l'arithmétique des variétés : R-équivalence et cohomologie non ramifiée : Two contributions to the arithmetic of varieties : R-equivalence and unramified cohomology. [Doctoral Dissertation]. Université Paris-Sud – Paris XI; 2011. Available from: http://www.theses.fr/2011PA112197

2. Cao, Yang. Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs : Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field.

Degree: Docteur es, Mathématiques fondamentales, 2017, Paris Saclay

Dans cette thèse, on s’intéresse à des propriétés arithmétiques des variétés algébriques. Elle contient deux parties : partie géométrique (sur un corps quelconque) et partie arithmétique (sur un corps de nombres). Dans la partie géométrique, j’étudie le quotient par sa partie constante du troisième groupe de cohomologie non ramifiée des surfaces (géométriquement) rationnelles et de leurs torseurs universels. Pour les surfaces de del Pezzo de degré au moins 5, je montre que ce quotient est trivial, sauf pour des surfaces de del Pezzo de degré 8 d’un type particulier. Pour les torseurs universels ci-dessus, je montre que ce quotient est fini et je donne une condition suffisante pour qu’il soit nul, en termes de la structure galoisienne du groupe de Picard géométrique de la surface. Dans la partie arithmétique, on étudie l’obstruction de Brauer–Manin à l’approximation forte. En collaboration avec C. Demarche et F. Xu, nous établissons l’équivalence de l’obstruction de Brauer-Manin étale et de l’obstruction de descente pour les variétés quasi-projectives. Ensuite, j’établis un théorème très général sur l’approximation forte pour les variétés ouvertes munies d’une action d’un groupe linéaire connexe G et dont un ouvert est un espace homogène de G.

In this Ph.D. thesis, we investigate some arithmetic properties of algebraic varieties. The thesis consists of two parts: a geometric part (over an arbitrary field) and an arithmetic part (over a number field). The geometric part is devoted to the study of the quotient by its constant part of the third unramified cohomology group of (geometrically) rational surfaces and of their universal torsors. For del Pezzo surfaces of degree at least 5, we show that this quotient is zero, except in the case of del Pezzo surfaces of degree 8 of a special type. For universal torsors as above, we show this quotient is finite and we give a sufficient condition for it to vanish. This condition involves the Galois structure of the geometrical Picard group. The arithmetic part is devoted to the study of the Brauer-Manin obstruction to strong approximation. In collaboration with C. Demarche and F. Xu, we establish the equivalence of étale Brauer-Manin obstruction and the descent obstruction. Then I establish a general theorem about strong approximation of open varieties equipped with an action of a connected linear algebraic group G and containing a G-homogeneous space as open subset.

Advisors/Committee Members: Harari, David (thesis director), Colliot-Thélène, Jean-Louis (thesis director).

Subjects/Keywords: Variété rationnelle; Torseur; Obstruction de Brauer-Manin; Cohomologie non ramifiée; Rational variety; Torsor; Brauer-Manin obstruction; Unramified cohomology

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APA (6th Edition):

Cao, Y. (2017). Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs : Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field. (Doctoral Dissertation). Paris Saclay. Retrieved from http://www.theses.fr/2017SACLS131

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Cao, Yang. “Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs : Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field.” 2017. Doctoral Dissertation, Paris Saclay. Accessed October 18, 2019. http://www.theses.fr/2017SACLS131.

MLA Handbook (7th Edition):

Cao, Yang. “Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs : Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field.” 2017. Web. 18 Oct 2019.

Vancouver:

Cao Y. Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs : Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field. [Internet] [Doctoral dissertation]. Paris Saclay; 2017. [cited 2019 Oct 18]. Available from: http://www.theses.fr/2017SACLS131.

Council of Science Editors:

Cao Y. Variétés rationnelles et torseurs sous les groupes linéaires : obstruction de Brauer-Manin pour les points entiers et invariants cohomologiques supérieurs : Rational varieties and torsors under linear algebraic groups : Brauer-Manin obstruction over the integers and higher cohomological invariants over an arbitrary field. [Doctoral Dissertation]. Paris Saclay; 2017. Available from: http://www.theses.fr/2017SACLS131

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