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1. Catellier, Rémi. Perturbations irrégulières et systèmes différentiels rugueux : Irregular Perturbations and Rough Differential Systems.

Degree: Docteur es, Mathématiques et informatique appliquées aux sciences sociales (miass), 2014, Paris 9

Ce travail, à la frontière de l’analyse et des probabilités, s’intéresse à l’étude de systèmes différentiels a priori mal posés. Nous cherchons, grâce à des techniques issues de la théorie des chemins rugueux et de l’étude trajectorielle des processus stochastiques, à donner un sens à de tels systèmes puis à les résoudre, tout en montrant que les notions proposées ici étendent bien les notions classiques de solutions. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier traite des systèmes différentiels ordinaires perturbés additivement par des processus irréguliers éventuellement stochastiques ainsi que des effets de régularisation de tels processus. Le deuxième chapitre concerne l’équation de transport linéaire perturbée multiplicativement par des chemins rugueux ; enfin, le dernier chapitre s’intéresse à une équation de la chaleur non linéaire perturbée par un bruit blanc espace-temps, l’équation de quantisation stochastique phi4 en dimension 3.

In this work we investigate a priori ill-posed differential systems from an analytic and probabilistic point of view. Thanks to technics inspired by the rough path theory and pathwise study of stochastic processes, we want to define those ill-posed systems and then study them. The first chapter of this thesis is related to ordinary differential equations perturbed by some irregular (stochastic) processes and the effects induced by the regularization of such processes. The second chapter deals with the linear transport equation multiplicatively perturbed by a rough path. Finally, in the last chapter we investigate the stochastic quantization equation Phi4 in three dimensions.

Advisors/Committee Members: Gubinelli, Massimiliano (thesis director).

Subjects/Keywords: Integrale de Young; Chemins Contrôlés; Regularization by noise; Mouvement brownien Fractionaire; Equation différentielles stochastiquess; Équation différentielles partielles stochastiques; Chemins rugueux; Paraproduits; Espaces de Besov; Bruit blanc; Equation de quantisation stochastique; Young integral; Controlled Path; Regularization by noise; Fractional Brownian motion; Stochastic differential equation; Partial stochastic differential equation; Rough path; Paraproducts; Besov spaces; White noise; Stochastic quantisation equation; 519.5

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APA · Chicago · MLA · Vancouver · CSE | Export to Zotero / EndNote / Reference Manager

APA (6th Edition):

Catellier, R. (2014). Perturbations irrégulières et systèmes différentiels rugueux : Irregular Perturbations and Rough Differential Systems. (Doctoral Dissertation). Paris 9. Retrieved from http://www.theses.fr/2014PA090032

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Catellier, Rémi. “Perturbations irrégulières et systèmes différentiels rugueux : Irregular Perturbations and Rough Differential Systems.” 2014. Doctoral Dissertation, Paris 9. Accessed January 20, 2020. http://www.theses.fr/2014PA090032.

MLA Handbook (7th Edition):

Catellier, Rémi. “Perturbations irrégulières et systèmes différentiels rugueux : Irregular Perturbations and Rough Differential Systems.” 2014. Web. 20 Jan 2020.

Vancouver:

Catellier R. Perturbations irrégulières et systèmes différentiels rugueux : Irregular Perturbations and Rough Differential Systems. [Internet] [Doctoral dissertation]. Paris 9; 2014. [cited 2020 Jan 20]. Available from: http://www.theses.fr/2014PA090032.

Council of Science Editors:

Catellier R. Perturbations irrégulières et systèmes différentiels rugueux : Irregular Perturbations and Rough Differential Systems. [Doctoral Dissertation]. Paris 9; 2014. Available from: http://www.theses.fr/2014PA090032

2. Furlan, Marco. Structures contrôlées pour les équations aux dérivées partielles : Controlled structures for partial differential equations.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2018, Paris Sciences et Lettres

Le projet de thèse comporte différentes directions possibles: a) Améliorer la compréhension des relations entre la théorie des structures de régularité développée par M. Hairer et la méthode des Distributions Paracontrolées développée par Gubinelli, Imkeller et Perkowski, et éventuellement fournir une synthèse des deux. C'est très spéculatif et, pour le moment, il n'y a pas de chemin clair vers cet objectif à long terme. b) Utiliser la théorie des Distributions Paracontrolées pour étudier différents types d'équations aux dérivés partiels: équations de transport et équations générales d'évolution hyperbolique, équations dispersives, systèmes de lois de conservation. Ces EDP ne sont pas dans le domaine des méthodes actuelles qui ont été développées principalement pour gérer les équations d'évolution semi-linéaire parabolique. c) Une fois qu'une théorie pour l'équation de transport perturbée par un signal irregulier a été établie, il sera possible de se dédier à l'étude des phénomènes de régularisation par le bruit qui, pour le moment, n'ont étés étudiés que dans le contexte des équations de transport perturbées par le mouvement brownien, en utilisant des outils standard d'analyse stochastique. d) Les techniques du Groupe de Renormalisation (GR) et les développements multi-échelles ont déjà été utilisés à la fois pour aborder les EDP et pour définir des champs quantiques euclidiens. La théorie des Distributions Paracontrolées peut être comprise comme une sorte d'analyse multi-échelle des fonctionnels non linéaires et il serait intéressant d'explorer l'interaction des techniques paradifférentielles avec des techniques plus standard, comme les "cluster expansions" et les méthodes liées au GR.

The thesis project has various possible directions: a) Improve the understanding of the relations between the theory of Regularity Structures developed by M.Hairer and the method of Paracontrolled Distributions developed by Gubinelli, Imkeller and Perkowski, and eventually to provide a synthesis. This is highly speculative and at the moment there are no clear path towards this long term goal. b) Use the theory of Paracontrolled Distributions to study different types of PDEs: transport equations and general hyperbolic evolution equation, dispersive equations, systems of conservation laws. These PDEs are not in the domain of the current methods which were developed mainly to handle parabolic semilinear evolution equations. c) Once a theory of transport equation driven by rough signals have been established it will become possible to tackle the phenomena of regularization by transport noise which for the moment has been studied only in the context of transport equations driven by Brownian motion, using standard tools of stochastic analysis. d) Renormalization group (RG) techniques and multi-scale expansions have already been used both to tackle PDE problems and to define Euclidean Quantum Field Theories. Paracontrolled Distributions theory can be understood as a kind of mul- tiscale analysis of non-linear functionals and it would be…

Advisors/Committee Members: Gubinelli, Massimiliano (thesis director).

Subjects/Keywords: Équations aux dérivées partielles stochastiques; Paraproduits; Analyse fonctionnelle; Espace de Besov; Universalité faible; Equation de quantisation stochastique; Équations aux dérivées partielles; Calcul de Malliavin; Distributions paracontrolées; Modèle d'Ising; Équations aux dérivées partielles quasi-linéaires; Stochastic partial differential equations; Paraproducts; Functional analysis; Besov Space; Weak universality; Stochastic quantization equation; Partial differential equations; Malliavin calculus; Paracontrolled distributions; Ising Model; Quasi-linear PDEs; 515.7

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APA (6th Edition):

Furlan, M. (2018). Structures contrôlées pour les équations aux dérivées partielles : Controlled structures for partial differential equations. (Doctoral Dissertation). Paris Sciences et Lettres. Retrieved from http://www.theses.fr/2018PSLED008

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Furlan, Marco. “Structures contrôlées pour les équations aux dérivées partielles : Controlled structures for partial differential equations.” 2018. Doctoral Dissertation, Paris Sciences et Lettres. Accessed January 20, 2020. http://www.theses.fr/2018PSLED008.

MLA Handbook (7th Edition):

Furlan, Marco. “Structures contrôlées pour les équations aux dérivées partielles : Controlled structures for partial differential equations.” 2018. Web. 20 Jan 2020.

Vancouver:

Furlan M. Structures contrôlées pour les équations aux dérivées partielles : Controlled structures for partial differential equations. [Internet] [Doctoral dissertation]. Paris Sciences et Lettres; 2018. [cited 2020 Jan 20]. Available from: http://www.theses.fr/2018PSLED008.

Council of Science Editors:

Furlan M. Structures contrôlées pour les équations aux dérivées partielles : Controlled structures for partial differential equations. [Doctoral Dissertation]. Paris Sciences et Lettres; 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018PSLED008

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