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University of Oxford

1. Montanelli, Hadrien. Numerical algorithms for differential equations with periodicity.

Degree: PhD, 2017, University of Oxford

This thesis presents new numerical methods for solving differential equations with periodicity. Spectral methods for solving linear and nonlinear ODEs, linear ODE eigenvalue problems and linear time-dependent PDEs on a periodic interval are reviewed, and a novel approach for computing multiplication matrices is presented. Choreographies, periodic solutions of the n-body problem that share a common orbit, are computed for the first time to high accuracy using an algorithm based on approximation by trigonometric polynomials and optimization techniques with exact gradient and exact Hessian matrix. New choreographies in spaces of constant curvature are found. Exponential integrators for solving periodic semilinear stiff PDEs in 1D, 2D and 3D periodic domains are reviewed, and 30 exponential integrators are compared on 11 PDEs. It is shown that the complicated fifth-, sixth- and seventh-order methods do not really outperform one of the simplest exponential integrators, the fourth-order ETDRK4 scheme of Cox and Matthews. Finally, algorithms for solving semilinear stiff PDEs on the sphere with spectral accuracy in space and fourth-order accuracy in time are proposed. These are based on a new variant of the double Fourier sphere method in coefficient space and standard implicit-explicit time-stepping schemes. A comparison is made against exponential integrators and it is found that implicit-explicit schemes perform better. The algorithms described in each chapter of this thesis have been implemented in MATLAB and made available as part of Chebfun.

Subjects/Keywords: 515; Applied Mathematics; Numerical Mathematics; Applied PDEs; Numerical PDEs; PDEs on the sphere; Choreographies; Fourier spectral methods; Stiff PDEs; Periodic Differential Equations; Nonlinear ODEs; Stiff ODEs

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APA (6th Edition):

Montanelli, H. (2017). Numerical algorithms for differential equations with periodicity. (Doctoral Dissertation). University of Oxford. Retrieved from https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:cc001282-4285-4ca2-ad06-31787b540c61 ; https://ethos.bl.uk/OrderDetails.do?uin=uk.bl.ethos.729570

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Montanelli, Hadrien. “Numerical algorithms for differential equations with periodicity.” 2017. Doctoral Dissertation, University of Oxford. Accessed December 15, 2019. https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:cc001282-4285-4ca2-ad06-31787b540c61 ; https://ethos.bl.uk/OrderDetails.do?uin=uk.bl.ethos.729570.

MLA Handbook (7th Edition):

Montanelli, Hadrien. “Numerical algorithms for differential equations with periodicity.” 2017. Web. 15 Dec 2019.

Vancouver:

Montanelli H. Numerical algorithms for differential equations with periodicity. [Internet] [Doctoral dissertation]. University of Oxford; 2017. [cited 2019 Dec 15]. Available from: https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:cc001282-4285-4ca2-ad06-31787b540c61 ; https://ethos.bl.uk/OrderDetails.do?uin=uk.bl.ethos.729570.

Council of Science Editors:

Montanelli H. Numerical algorithms for differential equations with periodicity. [Doctoral Dissertation]. University of Oxford; 2017. Available from: https://ora.ox.ac.uk/objects/uuid:cc001282-4285-4ca2-ad06-31787b540c61 ; https://ethos.bl.uk/OrderDetails.do?uin=uk.bl.ethos.729570

2. Douanla Lontsi, Charlie. Schémas d'ordre élevé pour des simulations réalistes en électrophysiologie cardiaque : High order schemes for realistic simulations in cardiac electrophysiology.

Degree: Docteur es, Mathématiques appliquées et calcul scientifique, 2017, Bordeaux

Les simulations numériques réalistes en électrophysiologie cardiaque ont un coût de calcul extrêmement élevé. Ce coût s’explique en grande partie par la raideur, à la fois en temps et en espace, d’une onde de « potentiel d’action » (PA). Par ailleurs, les phénomènes observés sont très instationnaires et s’étudient en temps long. Une description précise de la dynamique des PA est cruciale pour construire des modèles numériques pertinents d’un point de vue médical ou clinique. Cet aspect fondamental ne peut être contourné dans les études numériques réalistes.La raideur de l’onde de PA ne peut être captée numériquement qu’en ayant recours à des maillages très fins. Ces maillages très fins induisent un coût de calcul très important, et introduisent aussi des erreurs supplémentaires : les systèmes linéaires à résoudre deviennent très mal conditionnés. Au final, les erreurs numériques peuvent être particulièrement grandes dans les simulations alors que leur contrôle est évidemment essentiel pour assurer la fiabilité des résultats. Jusqu’à présent, très peu de résultats sont disponibles pour assurer cette fiabilité. Dans les faits, les erreurs sont la plupart du temps contrôlées par des procédés empiriques. Il existe quelques résultats théoriques étudiant la convergence et la stabilité des schémas numériques associés. En pratique, en plus d'avoir un contrôle de l'erreur sur le potentiel, il est aussi nécessaire d'avoir un contrôle de l’erreur sur des quantités macroscopiques décrivant la dynamique de l’onde de PA : temps d’activation, durée du PA, propriétés de restitution... Ces quantités ont en effet une interprétation physiologique qui permet de caractériser le caractère arythmogène des tissus.Les modèles sont des systèmes d’EDP de réaction-diffusion couplés avec des systèmes d’équations différentielles pouvant être très raides, les modèles ioniques. Ils sont actuellement discrétisés par éléments finis conforme (Lagrange) et par des schémas en temps d’ordre un ou deux. Dans ce travail, nous concevons et évaluons l’intérêt d'utiliser des méthodes d’ordre supérieure pour ces systèmes. Parallèlement nous introduisons d'une part une nouvelle classe de schémas appelé schémas exponentiel Adams Bashforth intégral (IEAB), et d'autre part des schémas Rush Larsen (RL) d'ordre élevé. Ces nouveaux schémas sont des schémas multipas de type exponentiels. Nous montrons qu'ils possèdent des bonnes propriétés de stabilité et permettent de faire face efficacement à la raideur des modèles ioniques. Les schémas que nous proposons sont comparés numériquement (en terme de précision, coût en temps de calcul et stabilité) à plusieurs schémas classiques, ainsi qu'aux schémas exponentiels (RL1, RL2) communément utilisés pour des simulations en électrophysiologie cardiaque. Nous proposons des techniques permettant de calculer avec précision les quantités d’intérêts cliniques (temps d’activation, de récupération, durée du potentiel d’action). Des résultats théoriques de convergence en temps et de convergence globale (espace et temps) sont énoncés… Advisors/Committee Members: Coudière, Yves (thesis director).

Subjects/Keywords: EDO raides (lineaire et non linéaire); Schémas exponentiels à ordre élevé; Électrophysiologie cardiaque; Équations de réaction diffusion; Modèles ioniques; Monodomaine; Élément finis; Stiff ODEs (linear and nonlinear); High order time integrating schemes; Cardiac electrophysiology; Reaction diffudion equations; Ionic models; Monodomain; Finite elements

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APA (6th Edition):

Douanla Lontsi, C. (2017). Schémas d'ordre élevé pour des simulations réalistes en électrophysiologie cardiaque : High order schemes for realistic simulations in cardiac electrophysiology. (Doctoral Dissertation). Bordeaux. Retrieved from http://www.theses.fr/2017BORD0752

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Douanla Lontsi, Charlie. “Schémas d'ordre élevé pour des simulations réalistes en électrophysiologie cardiaque : High order schemes for realistic simulations in cardiac electrophysiology.” 2017. Doctoral Dissertation, Bordeaux. Accessed December 15, 2019. http://www.theses.fr/2017BORD0752.

MLA Handbook (7th Edition):

Douanla Lontsi, Charlie. “Schémas d'ordre élevé pour des simulations réalistes en électrophysiologie cardiaque : High order schemes for realistic simulations in cardiac electrophysiology.” 2017. Web. 15 Dec 2019.

Vancouver:

Douanla Lontsi C. Schémas d'ordre élevé pour des simulations réalistes en électrophysiologie cardiaque : High order schemes for realistic simulations in cardiac electrophysiology. [Internet] [Doctoral dissertation]. Bordeaux; 2017. [cited 2019 Dec 15]. Available from: http://www.theses.fr/2017BORD0752.

Council of Science Editors:

Douanla Lontsi C. Schémas d'ordre élevé pour des simulations réalistes en électrophysiologie cardiaque : High order schemes for realistic simulations in cardiac electrophysiology. [Doctoral Dissertation]. Bordeaux; 2017. Available from: http://www.theses.fr/2017BORD0752

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