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1. Vérine, Alexandre. Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2018, Lyon

La géométrie symplectique et la géométrie complexe sont intimement liées, en particulier par les techniques asymptotiquement holomorphes de Donaldson et Auroux d'une part et par les travaux d’Eliashberget et Cieliebak sur la pseudoconvexité d'autre part. Les travaux présentés dans cette thèse sont motivés par ces deux liens. On donne d’abord la caractérisation symplectique suivante des constantes de Seshadri. Dans une variété complexe, la constante de Seshadri d’une classe de Kähler entière en un point est la borne supérieure des capacités de boules standard admettant, pour une certaine forme de Kähler dans cette classe, un plongement holomorphe et iso-Kähler de codimension 0 centré en ce point. Ce critère était connu de Eckl en 2014 ; on en donne une preuve différente. La deuxième partie est motivée par la question suivante de Donaldson : <<Toute sphère lagrangienne d'une variété projective complexe est-elle un cycle évanescent d'une déformation complexe vers une variété à singularité conique ?>> D'une part, on présente toute sous-variété lagrangienne close d’une variété symplectique/kählérienne close dont les périodes relatives sont entières comme lieu des minima d’une exhaustion <<convexe>> définie sur le complémentaire d'une section hyperplane symplectique/complexe. Dans le cadre kählérien, <<convexe>> signifie strictement plurisousharmonique tandis que dans le cadre symplectique, cela signifie de Lyapounov pour un champ de Liouville. D'autre part, on montre que toute sphère lagrangienne d'un domaine de Stein qui est le lieu des minima d’une fonction <<convexe>> est un cycle évanescent d'une déformation complexe sur le disque vers un domaine à singularité conique.

Symplectic geometry and complex geometry are closely related, in particular by Donaldson and Auroux’s asymptotically holomorphic techniques and by Eliashberg and Cieliebak’s work on pseudoconvexity. The work presented in this thesis is motivated by these two connections. We first give the following symplectic characterisation of Seshadri constants. In a complex manifold, the Seshadri constant of an integral Kähler class at a point is the upper bound on the capacities of standard balls admitting, for some Kähler form in this class, a codimension 0 holomorphic and iso-Kähler embedding centered at this point. This criterion was known by Eckl in 2014; we give a different proof of it. The second part is motivated by Donaldon’s following question: ‘Is every Lagrangian sphere of a complex projective manifold a vanishing cycle of a complex deformation to a variety with a conical singularity?’ On the one hand, we present every closed Lagrangian submanifold of a closed symplectic/Kähler manifold whose relative periods are integers as the lowest level set of a ‘convex’ exhaustion defined on the complement of a symplectic/complex hyperplane section. In the Kähler setting ‘complex’ means strictly plurisubharmonic while in the symplectic setting it refers to the existence of a Liouville pseudogradient. On the other hand, we prove that any Lagrangian sphere of a…

Advisors/Committee Members: Giroux, Emmanuel (thesis director).

Subjects/Keywords: Fonctions plurisousharmoniques; Domaines de Stein; Cycles évanescents; Cobordismes de Weinstein; Sections hyperplanes; Constantes de Seshadri; Variétés symplectiques; Plurisubharmonic functions; Vanishing cycles; Stein domains; Weinstein cobordisms; Hyperplane sections; Seshadri constants; Symplectic manifolds

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APA (6th Edition):

Vérine, A. (2018). Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds. (Doctoral Dissertation). Lyon. Retrieved from http://www.theses.fr/2018LYSEN038

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Vérine, Alexandre. “Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds.” 2018. Doctoral Dissertation, Lyon. Accessed March 05, 2021. http://www.theses.fr/2018LYSEN038.

MLA Handbook (7th Edition):

Vérine, Alexandre. “Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds.” 2018. Web. 05 Mar 2021.

Vancouver:

Vérine A. Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds. [Internet] [Doctoral dissertation]. Lyon; 2018. [cited 2021 Mar 05]. Available from: http://www.theses.fr/2018LYSEN038.

Council of Science Editors:

Vérine A. Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds. [Doctoral Dissertation]. Lyon; 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018LYSEN038

2. Liu, Jie. Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental : Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2018, Université Côte d'Azur (ComUE)

Cette thèse est consacrée à l'étude de la géométrie des variétés de Fano complexes en utilisant les propriétés des sous-faisceaux du fibré tangent et la géométrie du diviseur fondamental. Les résultats principaux compris dans ce texte sont : (i) Une généralisation de la conjecture de Hartshorne: une variété lisse projective est isomorphe à un espace projectif si et seulement si son fibré tangent contient un sous-faisceau ample.(ii) Stabilité du fibré tangent des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un : à l'aide de théorèmes d'annulation sur les espaces hermitiens symétriques irréductibles de type compact M, nous montrons que pour presque toute intersection complète générale dans M, le fibré tangent est stable. La même méthode nous permet de donner une réponse sur la stabilité de la restriction du fibré tangent de l'intersection complète à une hypersurface générale.(iii) Non-annulation effective pour des variétés de Fano et ses applications : nous étudions la positivité de la seconde classe de Chern des variétés de Fano lisses de nombre de Picard un. Ceci nous permet de montrer un théorème de non-annulation pour les variétés de Fano lisses de dimension n et d'indice n-3. Comme application, nous étudions la géométrie anticanonique des variétés de Fano et nous calculons les constantes de Seshadri des diviseurs anticanoniques des variétés de Fano d'indice grand.(iv) Diviseurs fondamentaux des variétés de Moishezon lisses de dimension trois et de nombre de Picard un : nous montrons l'existence d'un diviseur lisse dans le système fondamental dans certain cas particulier.

This thesis is devoted to the study of complex Fano varieties via the properties of subsheaves of the tangent bundle and the geometry of the fundamental divisor. The main results contained in this text are:(i) A generalization of Hartshorne's conjecture: a projective manifold is isomorphic to a projective space if and only if its tangent bundle contains an ample subsheaf.(ii) Stability of tangent bundles of Fano manifolds with Picard number one: by proving vanishing theorems on the irreducible Hermitian symmetric spaces of compact type M, we establish that the tangent bundles of almost all general complete intersections in M are stable. Moreover, the same method also gives an answer to the problem of stability of the restriction of the tangent bundle of a complete intersection on a general hypersurface.(iii) Effective non-vanishing for Fano varieties and its applications: we study the positivity of the second Chern class of Fano manifolds with Picard number one, this permits us to prove a non-vanishing result for n-dimensional Fano manifolds with index n-3. As an application, we study the anticanonical geometry of Fano varieties and calculate the Seshadri constants of anticanonical divisors of Fano manifolds with large index.(iv) Fundamental divisors of smooth Moishezon threefolds with Picard number one: we prove the existence of a smooth divisor in the fundamental linear system in some special cases.

Advisors/Committee Members: Höring, Andreas (thesis director), Mourougane, Christophe (thesis director).

Subjects/Keywords: Variétés de Fano; Espaces projectifs; Faisceaux amples; Feuilletages; Stabilité; Espaces hermitiens symétriques; Théorèmes d'annulation; Intersections complètes; Propriétés de Lefschetz; Non-annulation; Seconde classe de Chern; Birationalité; Diviseurs fondamentaux; Constante de Seshadri; Variétés de Moishezon; Singularités; Courbes rationnelles; Théorie de Mori; Fano varieties; Projective spaces; Ample sheaves; Foliations; Stability; Hermitian symmetric spaces; Vanishing theorems; Complete intersects; Lefschetz properties; Non-vanishing; Second Chern class; Birationality; Fundamental divisors; Seshadri constants; Moishezon manifolds; Singularities; Rational curves; Mori theory

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APA (6th Edition):

Liu, J. (2018). Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental : Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor. (Doctoral Dissertation). Université Côte d'Azur (ComUE). Retrieved from http://www.theses.fr/2018AZUR4038

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Liu, Jie. “Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental : Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor.” 2018. Doctoral Dissertation, Université Côte d'Azur (ComUE). Accessed March 05, 2021. http://www.theses.fr/2018AZUR4038.

MLA Handbook (7th Edition):

Liu, Jie. “Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental : Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor.” 2018. Web. 05 Mar 2021.

Vancouver:

Liu J. Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental : Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Côte d'Azur (ComUE); 2018. [cited 2021 Mar 05]. Available from: http://www.theses.fr/2018AZUR4038.

Council of Science Editors:

Liu J. Géométrie des variétés de Fano : sous-faisceaux du fibré tangent et diviseur fondamental : Geometry of Fano varieties : subsheaves of the tangent bundle and fundamental divisor. [Doctoral Dissertation]. Université Côte d'Azur (ComUE); 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018AZUR4038

3. Murayama, Takumi. Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods.

Degree: PhD, Mathematics, 2019, University of Michigan

In 1988, Fujita conjectured that there is an effective and uniform way to turn an ample line bundle on a smooth projective variety into a globally generated or very ample line bundle. We study Fujita's conjecture using Seshadri constants, which were first introduced by Demailly in 1992 with the hope that they could be used to prove cases of Fujita's conjecture. While examples of Miranda seemed to indicate that Seshadri constants could not be used to prove Fujita's conjecture, we present a new approach to Fujita's conjecture using Seshadri constants and positive characteristic methods. Our technique recovers some known results toward Fujita's conjecture over the complex numbers, without the use of vanishing theorems, and proves new results for complex varieties with singularities. Instead of vanishing theorems, we use positive characteristic techniques related to the Frobenius-Seshadri constants introduced by Mustata-Schwede and the author. As an application of our results, we give a characterization of projective space using Seshadri constants in positive characteristic, which was proved in characteristic zero by Bauer and Szemberg. Advisors/Committee Members: Mustata, Mircea Immanuel (committee member), Akhoury, Ratindranath (committee member), Hochster, Mel (committee member), Jonsson, Mattias (committee member), Smith, Karen E (committee member).

Subjects/Keywords: Seshadri constants; Fujita's conjecture; positive characteristic methods; characterizations of projective space; Angehrn-Siu theorem; asymptotic cohomological functions; Mathematics; Science

…Chapter 7. Moving Seshadri constants 7.1. Definition and basic properties . . . . . . . . . 7.2… …Fujita’s conjecture using Seshadri constants, which were first introduced by Demailly in 1992… …of Miranda seemed to indicate that Seshadri constants could not be used to prove Fujita’s… …conjecture, we present a new approach to Fujita’s conjecture using Seshadri constants and positive… …techniques related to the Frobenius–Seshadri constants introduced by Mustaţă–Schwede and the… 

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APA (6th Edition):

Murayama, T. (2019). Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods. (Doctoral Dissertation). University of Michigan. Retrieved from http://hdl.handle.net/2027.42/149842

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Murayama, Takumi. “Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods.” 2019. Doctoral Dissertation, University of Michigan. Accessed March 05, 2021. http://hdl.handle.net/2027.42/149842.

MLA Handbook (7th Edition):

Murayama, Takumi. “Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods.” 2019. Web. 05 Mar 2021.

Vancouver:

Murayama T. Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods. [Internet] [Doctoral dissertation]. University of Michigan; 2019. [cited 2021 Mar 05]. Available from: http://hdl.handle.net/2027.42/149842.

Council of Science Editors:

Murayama T. Seshadri Constants and Fujita's Conjecture via Positive Characteristic Methods. [Doctoral Dissertation]. University of Michigan; 2019. Available from: http://hdl.handle.net/2027.42/149842

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