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1. Rey, Clément. Étude et modélisation des équations différentielles stochastiques : High weak order discretization schemes for stochastic differential equation.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2015, Université Paris-Est

Durant les dernières décennies, l'essor des moyens technologiques et particulièrement informatiques a permis l'émergence de la mise en œuvre de méthodes numériques pour l'approximation d'Equations Différentielles Stochastiques (EDS) ainsi que pour l'estimation de leurs paramètres. Cette thèse aborde ces deux aspects et s'intéresse plus spécifiquement à l'efficacité de ces méthodes. La première partie sera consacrée à l'approximation d'EDS par schéma numérique tandis que la deuxième partie traite l'estimation de paramètres. Dans un premier temps, nous étudions des schémas d'approximation pour les EDSs. On suppose que ces schémas sont définis sur une grille de temps de taille n. On dira que le schéma Xn converge faiblement vers la diffusion X avec ordre h in ℕ si pour tout T>0, vert mathbb{E}[f(XT)-f(XTn)] vertleqslant Cf /nh. Jusqu'à maintenant, sauf dans certains cas particulier (schémas d'Euler et de Ninomiya Victoir), les recherches sur le sujet imposent que Cf dépende de la norme infini de f mais aussi de ses dérivées. En d'autres termes Cf =C sumvert alpha vert leqslant q Vert partial_α f Vert infty. Notre objectif est de montrer que si le schéma converge faiblement avec ordre h pour un tel Cf, alors, sous des hypothèses de non dégénérescence et de régularité des coefficients, on peut obtenir le même résultat avec Cf=C Vert f Vertinfty. Ainsi, on prouve qu'il est possible d'estimer mathbb{E}[f(XT)] pour f mesurable et bornée. On dit alors que le schéma converge en variation totale vers la diffusion avec ordre h. On prouve aussi qu'il est possible d'approximer la densité de XT et ses dérivées par celle XTn. Afin d'obtenir ce résultat, nous emploierons une méthode de calcul de Malliavin adaptatif basée sur les variables aléatoires utilisées dans le schéma. L'intérêt de notre approche repose sur le fait que l'on ne traite pas le cas d'un schéma particulier. Ainsi notre résultat s'applique aussi bien aux schémas d'Euler (h=1) que de Ninomiya Victoir (h=2) mais aussi à un ensemble générique de schémas. De plus les variables aléatoires utilisées dans le schéma n'ont pas de lois de probabilité imposées mais appartiennent à un ensemble de lois ce qui conduit à considérer notre résultat comme un principe d'invariance. On illustrera également ce résultat dans le cas d'un schéma d'ordre 3 pour les EDSs unidimensionnelles. La deuxième partie de cette thèse traite le sujet de l'estimation des paramètres d'une EDS. Ici, on va se placer dans le cas particulier de l'Estimateur du Maximum de Vraisemblance (EMV) des paramètres qui apparaissent dans le modèle matriciel de Wishart. Ce processus est la version multi-dimensionnelle du processus de Cox Ingersoll Ross (CIR) et a pour particularité la présence de la fonction racine carrée dans le coefficient de diffusion. Ainsi ce modèle permet de généraliser le modèle d'Heston au cas d'une covariance locale. Dans cette thèse nous construisons l'EMV des paramètres du Wishart. On donne également la vitesse de… Advisors/Committee Members: Alfonsi, Aurélien (thesis director).

Subjects/Keywords: Schémas de discrétisation; Equation diffférentielles stochastiques; Calcul de Malliavin; Estimateur de Maximum de Vraisemblance; Processus de Wishart; Discretization schemes; Stochastic Differential Equations; Malliavin calculus; Maximum Likelyhood Estimator; Wishart process

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APA (6th Edition):

Rey, C. (2015). Étude et modélisation des équations différentielles stochastiques : High weak order discretization schemes for stochastic differential equation. (Doctoral Dissertation). Université Paris-Est. Retrieved from http://www.theses.fr/2015PESC1177

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Rey, Clément. “Étude et modélisation des équations différentielles stochastiques : High weak order discretization schemes for stochastic differential equation.” 2015. Doctoral Dissertation, Université Paris-Est. Accessed June 19, 2019. http://www.theses.fr/2015PESC1177.

MLA Handbook (7th Edition):

Rey, Clément. “Étude et modélisation des équations différentielles stochastiques : High weak order discretization schemes for stochastic differential equation.” 2015. Web. 19 Jun 2019.

Vancouver:

Rey C. Étude et modélisation des équations différentielles stochastiques : High weak order discretization schemes for stochastic differential equation. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Paris-Est; 2015. [cited 2019 Jun 19]. Available from: http://www.theses.fr/2015PESC1177.

Council of Science Editors:

Rey C. Étude et modélisation des équations différentielles stochastiques : High weak order discretization schemes for stochastic differential equation. [Doctoral Dissertation]. Université Paris-Est; 2015. Available from: http://www.theses.fr/2015PESC1177

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