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1. Moustrou, Philippe. Geometric distance graphs, lattices and polytopes : Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes.

Degree: Docteur es, Mathématiques pures, 2017, Bordeaux

Un graphe métrique G(X;D) est un graphe dont l’ensemble des sommets est l’ensemble X des points d’un espace métrique (X; d), et dont les arêtes relient les paires fx; yg de sommets telles que d(x; y) 2 D. Dans cette thèse, nous considérons deux problèmes qui peuvent être interprétés comme des problèmes de graphes métriques dans Rn. Premièrement, nous nous intéressons au célèbre problème d’empilements de sphères, relié au graphe métrique G(Rn; ]0; 2r[) pour un rayon de sphère r donné. Récemment, Venkatesh a amélioré d’un facteur log log n la meilleure borne inférieure connue pour un empilement de sphères donné par un réseau, pour une suite infinie de dimensions n. Ici nous prouvons une version effective de ce résultat, dans le sens où l’on exhibe, pour la même suite de dimensions, des familles finies de réseaux qui contiennent un réseaux dont la densité atteint la borne de Venkatesh. Notre construction met en jeu des codes construits sur des corps cyclotomiques, relevés en réseaux grâce à un analogue de la Construction A. Nous prouvons aussi un résultat similaire pour des familles de réseaux symplectiques. Deuxièmement, nous considérons le graphe distance-unité G associé à une norme k_k. Le nombre m1 (Rn; k _ k) est défini comme le supremum des densités réalisées par les stables de G. Si la boule unité associée à k _ k pave Rn par translation, alors il est aisé de voir que m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc et S. Robins ont conjecturé qu’il y a égalité. On montre que cette conjecture est vraie pour n = 2 ainsi que pour des régions de Voronoï de plusieurs types de réseaux en dimension supérieure, ceci en se ramenant à la résolution de problèmes d’empilement dans des graphes discrets.

A distance graph G(X;D) is a graph whose set of vertices is the set of points X of a metric space (X; d), and whose edges connect the pairs fx; yg such that d(x; y) 2 D. In this thesis, we consider two problems that may be interpreted in terms of distance graphs in Rn. First, we study the famous sphere packing problem, in relation with thedistance graph G(Rn; (0; 2r)) for a given sphere radius r. Recently, Venkatesh improved the best known lower bound for lattice sphere packings by a factor log log n for infinitely many dimensions n. We prove an effective version of this result, in the sense that we exhibit, for the same set of dimensions, finite families of lattices containing a lattice reaching this bound. Our construction uses codes over cyclotomic fields, lifted to lattices via Construction A. We also prove a similar result for families of symplectic lattices. Second, we consider the unit distance graph G associated with a norm k _ k. The number m1 (Rn; k _ k) is defined as the supremum of the densities achieved by independent sets in G. If the unit ball corresponding with k _ k tiles Rn by translation, then it is easy to see that m1 (Rn; k _ k) > 1 2n . C. Bachoc and S. Robins conjectured that the equality always holds. We show that this conjecture is true for n = 2 and for several Voronoï cells of lattices in higher dimensions, by…

Advisors/Committee Members: Bachoc, Christine (thesis director), Pêcher, Arnaud (thesis director).

Subjects/Keywords: Graphes métriques; Réseaux Euclidiens; Empilement de sphères; Borne de Minkowski-Hlawka; Codes linéaires; Polytopes pavant l’espace par translation; Nombre chromatique; Distance graphs; Euclidean lattices; Sphere packing; Minkowski- Hlawka bound; Linear codes; Parallelohedra; Chromatic number

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APA (6th Edition):

Moustrou, P. (2017). Geometric distance graphs, lattices and polytopes : Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes. (Doctoral Dissertation). Bordeaux. Retrieved from http://www.theses.fr/2017BORD0802

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Moustrou, Philippe. “Geometric distance graphs, lattices and polytopes : Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes.” 2017. Doctoral Dissertation, Bordeaux. Accessed August 04, 2020. http://www.theses.fr/2017BORD0802.

MLA Handbook (7th Edition):

Moustrou, Philippe. “Geometric distance graphs, lattices and polytopes : Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes.” 2017. Web. 04 Aug 2020.

Vancouver:

Moustrou P. Geometric distance graphs, lattices and polytopes : Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes. [Internet] [Doctoral dissertation]. Bordeaux; 2017. [cited 2020 Aug 04]. Available from: http://www.theses.fr/2017BORD0802.

Council of Science Editors:

Moustrou P. Geometric distance graphs, lattices and polytopes : Graphes métriques géométriques, réseaux et polytopes. [Doctoral Dissertation]. Bordeaux; 2017. Available from: http://www.theses.fr/2017BORD0802

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