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Université de Bordeaux I

1. Laurent, Arthur. Autour des nombres de Tamagawa : On Tamagawa Numbers.

Degree: Docteur es, Mathématiques pures, 2013, Université de Bordeaux I

Les nombres de Tamagawa des courbes elliptiques apparaissent dans la formulation de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer comme certains facteurs locaux. Bloch et Kato (1990) ont trouvé une vaste généralisation de cette définition classique en termes de la théorie de Hodge p-adique. Ils ont associé un nombre de Tamagawa Tam(T) à tout réseau T de représentations p-adiques de de Rham au sens de J.-M. Fontaine. Ces nombres interviennent dans les conjectures de Bloch et Kato sur les valeurs spéciales des fonctions L des motifs.J.-M. Fontaine et B.Perrin-Riou ont formulé une conjecture reliant Tam(T) et le nombre de Tamagawa Tam(T*}(1)) de la représentation duale. Cette conjecture est connue pour les représentations cristallines ce qui permet de calculer explicitement les nombres de Tamagawa des représentations cristallines dont les poids de Hodge-Tate sont tous positifs. En revanche, dans la plupart des autres cas, nous n'avons pas de méthode de calcul explicite. Cette thèse a pour but de donner un encadrement des nombres de Tamagawa des représentations absolument cristallines le long de la tour cyclotomique sans hypothèses supplémentaires sur les poids de Hodge-Tate. Le premier chapitre de cette thèse est dédié à des rappels sur la théorie de Hodge p-adique, la classification de Fontaine des représentations p-adique de corps locaux via la théorie des (phi, Gamma)-modules, sur la cohomologie galoisienne, sur les modules de Wach ou sur la cohomologie d'Iwasawa. Le second chapitre est dédié à l'exponentielle de Bloch and Kato. Seront rappelées sa définition et sa construction de l'exponentielle de Bloch and Kato en termes de (phi, Gamma)-modules faite par D.Benois. Cette dernière construction permet de généraliser deux résultats de D.Benois et L.Berger qui relient l'exponentielle aux modules de Wach et qui permet de décrire des objets qui apparaissent naturellement dans l'étude des nombres de Tamagawa. Le dernier chapitre est le cœur de cette thèse. Nous commencerons en définissant les nombres de Tamagawa Tam(T) et en donnant certaines propriétés et résultats déjà connus. Nous énonçons ensuite le théorème final qui donne un encadrement des nombres de Tamagawa d'une représentation absolument cristalline V. Y sont également donnés certains cas d'égalité qui permettent de retrouver des formules connues  – lorsque V est positive ou lorsqu'elle provient d'une courbe elliptique et plus généralement d'un groupe formel de dimension 1 et de hauteur 2. Pour prouver ces résultats, nous écrivons les nombres de Tamagawa sous forme d'un indice généralisé dans lequel apparaissent les objets étudiés dans le chapitre précédent. La thèse se termine avec l'étude de plusieurs cas particuliers qui permettent de retrouver des résultats déjà connus.

Tamagawa numbers of elliptic curves appear in the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture as local factors. Bloch and Kato generalized the definition using p-adic Hodge theory in 1990. Indeed they associated a number Tam(T) to each lattice T of de Rham representation in the sense of…

Advisors/Committee Members: Benois, Denis (thesis director).

Subjects/Keywords: Théorie de hodge p-adique; Exponentielle de Bloch et Kato; Nombres de Tamagawa; Théorie des (Phi, Gamma)-modules; Modules de Wach; P-adic Hodge theory; Bloch and Kato's exponential map; Tamagawa numbers; (Phi, Gamma)-modules theory; Wach modules

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APA (6th Edition):

Laurent, A. (2013). Autour des nombres de Tamagawa : On Tamagawa Numbers. (Doctoral Dissertation). Université de Bordeaux I. Retrieved from http://www.theses.fr/2013BOR14809

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Laurent, Arthur. “Autour des nombres de Tamagawa : On Tamagawa Numbers.” 2013. Doctoral Dissertation, Université de Bordeaux I. Accessed August 21, 2019. http://www.theses.fr/2013BOR14809.

MLA Handbook (7th Edition):

Laurent, Arthur. “Autour des nombres de Tamagawa : On Tamagawa Numbers.” 2013. Web. 21 Aug 2019.

Vancouver:

Laurent A. Autour des nombres de Tamagawa : On Tamagawa Numbers. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université de Bordeaux I; 2013. [cited 2019 Aug 21]. Available from: http://www.theses.fr/2013BOR14809.

Council of Science Editors:

Laurent A. Autour des nombres de Tamagawa : On Tamagawa Numbers. [Doctoral Dissertation]. Université de Bordeaux I; 2013. Available from: http://www.theses.fr/2013BOR14809

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