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1. Banna, Marwa. Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2015, Université Paris-Est

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude de la distribution spectrale limite de grandes matrices aléatoires dont les entrées sont corrélées et traite également d'inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d'une somme de matrices aléatoires auto-adjointes et géométriquement absolument réguliers. On s'intéresse au comportement asymptotique de grandes matrices de covariances et de matrices de type Wigner dont les entrées sont des fonctionnelles d'une suite de variables aléatoires à valeurs réelles indépendantes et de même loi. On montre que dans ce contexte la distribution spectrale empirique des matrices peut être obtenue en analysant une matrice gaussienne ayant la même structure de covariance. Cette approche est valide que ce soit pour des processus à mémoire courte ou pour des processus exhibant de la mémoire longue, et on montre ainsi un résultat d'universalité concernant le comportement asymptotique du spectre de ces matrices. Notre approche consiste en un mélange de la méthode de Lindeberg par blocs et d'une technique d'interpolation Gaussienne. Une nouvelle inégalité de concentration pour la transformée de Stieltjes pour des matrices symétriques ayant des lignes m-dépendantes est établie. Notre méthode permet d'obtenir, sous de faibles conditions, l'équation intégrale satisfaite par la transformée de Stieltjes de la distribution spectrale limite. Ce résultat s'applique à des matrices associées à des fonctions de processus linéaires, à des modèles ARCH ainsi qu'à des modèles non-linéaires de type Volterra. On traite également le cas des matrices de Gram dont les entrées sont des fonctionnelles d'un processus absolument régulier (i.e. β-mélangeant).On établit une inégalité de concentration qui nous permet de montrer, sous une condition de décroissance arithmétique des coefficients de β-mélange, que la transformée de Stieltjes se concentre autour de sa moyenne. On réduit ensuite le problème à l'étude d'une matrice gaussienne ayant une structure de covariance similaire via la méthode de Lindeberg par blocs. Des applications à des chaînes de Markov stationnaires et Harris récurrentes ainsi qu'à des systèmes dynamiques sont données. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on étudie des inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d'une somme de matrices aléatoires auto-adjointes. Plus précisément, on établit une inégalité de type Bernstein pour la plus grande valeur propre de la somme de matrices auto-ajointes, centrées et géométriquement β-mélangeantes dont la plus grande valeur propre est bornée. Ceci étend d'une part le résultat de Merlevède et al. (2009) à un cadre matriciel et généralise d'autre part, à un facteur logarithmique près, les résultats de Tropp (2012) pour des sommes de matrices indépendantes

In this thesis, we investigate mainly the limiting spectral distribution of random matrices having correlated entries and prove as well a Bernstein-type inequality for the largest eigenvalue of the sum of self-adjoint random matrices that are geometrically…

Advisors/Committee Members: Merlevède, Florence (thesis director).

Subjects/Keywords: Matrices Aléatoires; Matrices de covariance empirique; Distribution spectrale limite; Processus absolument régulier; Inégalités de déviation; Random Matrices; Sample covariance matrices; Limiting spectral distribution; Absolutely regular processes; Deviiation inequalities

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APA (6th Edition):

Banna, M. (2015). Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality. (Doctoral Dissertation). Université Paris-Est. Retrieved from http://www.theses.fr/2015PESC1107

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Banna, Marwa. “Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality.” 2015. Doctoral Dissertation, Université Paris-Est. Accessed July 16, 2020. http://www.theses.fr/2015PESC1107.

MLA Handbook (7th Edition):

Banna, Marwa. “Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality.” 2015. Web. 16 Jul 2020.

Vancouver:

Banna M. Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Paris-Est; 2015. [cited 2020 Jul 16]. Available from: http://www.theses.fr/2015PESC1107.

Council of Science Editors:

Banna M. Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality. [Doctoral Dissertation]. Université Paris-Est; 2015. Available from: http://www.theses.fr/2015PESC1107

2. Li, Danning. Random matrix theory and its application in high-dimensional statistics.

Degree: PhD, Statistics, 2013, University of Minnesota

This thesis mainly focuses on several classical random matrices under some special settings, which has wide applications in modern science. We study the limiting spectral distribution of the m by m upper-left corner of an n by n Haar-invariant unitary matrix, which converges to the circular law as m goes to infinity with m over n goes to 0 or converges to the arc law as m over n goes to 1. Secondly we investigate the random eigenvalues coming from the beta-Laguerre ensemble with parameter p, which is a generalization of the Wishart matrices of parameter (n,p). In the case when the sample size n is much smaller than the dimension p, we approximate the beta-Laguerre ensemble by a beta-Hermite ensemble which is a generalization of the Wigner matrices. As corollaries, we get that the largest and smallest eigenvalues of the complex Wishart matrix are asymptotically independent; the limiting distribution of the condition numbers; a test procedure for the spherical hypothesis test. In addition, we prove the large deviation principles for three basic statistics: the largest eigenvalue, the smallest eigenvalue and the empirical distribution of eigenvalues, and we also demonstrate that the limiting spectral distribution converges to the semicircle law as a corollary. Finally, we use a modified statistic to test the covariance structure for the n by p random matrix where p is much larger than n. Both the law of the large number and the limiting distribution of the statistic are derived. Under certain conditions, we also obtain the rate of convergence for the asymptotic distribution. Furthermore, we also use the same type of statistics to test the banded covariance structure, and show under some conditions, it holds with the similar properties.

Subjects/Keywords: Covariance structure; Large deviation Principle; Limiting spectral distribution; Random matrix; Random polynomial; Stein method

…proved that the limiting spectral distribution of a Gaussian symmetric (or Wigner)… …limiting spectral distribution for more general random matrices during 1980s (see Bai and… …organized as follows: • In Chapter 2, we prove that the limiting spectral distribution of the… …discovered the limiting spectral property of the sample covariance matrix, which follows so-called… …Silverstein, 2009). Tracy and Widom first found the expression of the limiting distribution of… 

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APA (6th Edition):

Li, D. (2013). Random matrix theory and its application in high-dimensional statistics. (Doctoral Dissertation). University of Minnesota. Retrieved from http://purl.umn.edu/155952

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Li, Danning. “Random matrix theory and its application in high-dimensional statistics.” 2013. Doctoral Dissertation, University of Minnesota. Accessed July 16, 2020. http://purl.umn.edu/155952.

MLA Handbook (7th Edition):

Li, Danning. “Random matrix theory and its application in high-dimensional statistics.” 2013. Web. 16 Jul 2020.

Vancouver:

Li D. Random matrix theory and its application in high-dimensional statistics. [Internet] [Doctoral dissertation]. University of Minnesota; 2013. [cited 2020 Jul 16]. Available from: http://purl.umn.edu/155952.

Council of Science Editors:

Li D. Random matrix theory and its application in high-dimensional statistics. [Doctoral Dissertation]. University of Minnesota; 2013. Available from: http://purl.umn.edu/155952

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