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1. Schmachtel, Rainer. Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Degree: 2003, Universität Dortmund

Gegenstand der vorliegenden Dissertation ist die Entwicklung von robusten numerischen Verfahren zur Lösung von strömungsmechanischen Problemen für inkompressible Fluide.Bei der Auflösung physikalischer Randschichten verwendet man häufig Gitter mit äußerst langgestreckten Zellen. Durch diese entstehen Probleme bei der Diskretisierung sowie bei der Verwendung von linearen Mehrgitterverfahren. Weiterhin bereiten Viskositäten oder Dichten, die starke Sprünge aufweisen, den numerischen Verfahren Probleme.Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Entwicklung eines numerischen Verfahrens, das robust genug ist, um mit diesen Schwierigkeiten fertig zu werden, und dabei nicht auf den Vorteil der hohen Geschwindigkeit linearer Mehrgittermethoden verzichtet. Die Untersuchungen haben gezeigt, daß dafür von der Diskretisierung über den Gittertransfer bis hin zum verwendeten Glättungsverfahren nahezu alle numerischen Komponenten stabilisiert werden müssen. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf dem Glätter im Mehrgitteralgorithmus, wofür ein geblocktes 'Locales-Druck-Schur-Komplement Verfahren' (LMPSC-Local Multilevel Pressure Schurcomplement)entwickelt worden ist.Ein zweiter Schwerpunkt der Arbeit ist die effektive numerische Behandlung der Nichtlinearität in den Gleichungen. Der Einsatz des klassischen Newton-Verfahrens scheitert häufig daran, daß die entstehende linearisierten Gleichungssysteme nicht mehr numerisch lösbar sind, während das Konvergenzverhalten einfacher Fixpunktiterationen sehr schnell degeneriert. Die hier gefundene Lösung besteht aus einer Art Interpolation der beiden Verfahren, bei der hervorragende (nichtlineare) Konvergenzeigenschaften erzielt werden, die entstehendenlinearen Gleichungssysteme -unter Verwendung des LMPSC-Glätters- jedoch einfach lösbar bleiben.Schließlich wird die Erweiterung der Methoden auf die Boussinesq-Approximation erläutert, undderen Effektivität auch für diese Problemstellungen mit numerischen Tests belegt.

The subject of this thesis is the development of robust numerical methods for the solution of fluidmechanical problems for incompressible fluids.When resolving physical boundary layers, grids with long stretched elements are commonly used. These elements are the cause of problems concerning the discretization as well as the liner multigrid method. Furthermore, strongly jumping viscosity or density lead to problems with the numerical algorithms.Goal of the present work is the development of an effective numerical method, that is robust enoughto deal with these difficulties, but at the same time maintains the high speed of linear multigrid methods.The examinations have shown, that for this purpose, all numerical components have to be stabilized,especially the discretization, the grid transfer and the smoothing algorithms in the multigrid method.Special attention has been turned on the smoothing procedure, where a block-oriented 'Local-Presure-Schur-Complement' (LMPSC) method has been developed.The second central point of this thesis is the effective treatment of the nonlinearity…

Advisors/Committee Members: Turek, Stefan.

Subjects/Keywords: Anisotrope Gitter; anisotropic grids; Boussinesq-approximation; Boussinesq-Approximation; Convection-diffusion-equation; Finite Elemente; Finite-Elements; Gittertransferoperatoren; Grid-transfer-operators; Konvektions-Diffusions-Gleichung; Mehrgitterverfahren; Multigrid-methods; Navier-Stokes-equations; Navier-Stokes-Gleichung; Newtons-method; Newtonverfahren; Preconditioner; Schur-complement-methods; Schur-Komplement Methoden; Vanka-Glätter; Vanka-Smoother; Vorkonditionierer; 510

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APA (6th Edition):

Schmachtel, R. (2003). Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. (Thesis). Universität Dortmund. Retrieved from http://hdl.handle.net/2003/2308

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Not specified: Masters Thesis or Doctoral Dissertation

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Schmachtel, Rainer. “Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.” 2003. Thesis, Universität Dortmund. Accessed April 17, 2021. http://hdl.handle.net/2003/2308.

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Not specified: Masters Thesis or Doctoral Dissertation

MLA Handbook (7th Edition):

Schmachtel, Rainer. “Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.” 2003. Web. 17 Apr 2021.

Vancouver:

Schmachtel R. Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. [Internet] [Thesis]. Universität Dortmund; 2003. [cited 2021 Apr 17]. Available from: http://hdl.handle.net/2003/2308.

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Council of Science Editors:

Schmachtel R. Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. [Thesis]. Universität Dortmund; 2003. Available from: http://hdl.handle.net/2003/2308

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2. Schmachtel, Rainer. Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.

Degree: 2003, Technische Universität Dortmund

The subject of this thesis is the development of robust numerical methods for the solution of fluidmechanical problems for incompressible fluids.When resolving physical boundary layers, grids with long stretched elements are commonly used. These elements are the cause of problems concerning the discretization as well as the liner multigrid method. Furthermore, strongly jumping viscosity or density lead to problems with the numerical algorithms.Goal of the present work is the development of an effective numerical method, that is robust enoughto deal with these difficulties, but at the same time maintains the high speed of linear multigrid methods.The examinations have shown, that for this purpose, all numerical components have to be stabilized,especially the discretization, the grid transfer and the smoothing algorithms in the multigrid method.Special attention has been turned on the smoothing procedure, where a block-oriented 'Local-Presure-Schur-Complement' (LMPSC) method has been developed.The second central point of this thesis is the effective treatment of the nonlinearity in the equations.More often than not, classical Newton-methods are not applicable, since the resultinglinear systems can not be inverted, while the convergence behavior of classical fixed-point iterations quickly degenerates. The solution to overcome this is a kind of interpolation between the two methods.So, excellent (nonlinear) convergence properties can be achieved, while at the same time the resulting linear systems can be easily solved -using the LMPSC-smoother developed above. Finally, the extension of these methods to the Boussinesq-approximation is explained and the effectivity for this configuration is affirmed by various numerical tests. Advisors/Committee Members: Turek, Stefan (advisor), Suttmeier, Franz-Theo (referee).

Subjects/Keywords: Finite Elemente; Mehrgitterverfahren; Anisotrope Gitter; Gittertransferoperatoren; Newtonverfahren; Schur-Komplement Methoden; Vorkonditionierer; Navier-Stokes-Gleichung; Konvektions-Diffusions-Gleichung; Boussinesq-Approximation; Vanka-Glätter; Finite-Elements; Multigrid-methods; anisotropic grids; Grid-transfer-operators; Vanka-Smoother; Newtons-method; Schur-complement-methods; Preconditioner; Navier-Stokes-equations; Convection-diffusion-equation; Boussinesq-approximation; 510

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APA (6th Edition):

Schmachtel, R. (2003). Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. (Doctoral Dissertation). Technische Universität Dortmund. Retrieved from http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-133

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Schmachtel, Rainer. “Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.” 2003. Doctoral Dissertation, Technische Universität Dortmund. Accessed April 17, 2021. http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-133.

MLA Handbook (7th Edition):

Schmachtel, Rainer. “Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen.” 2003. Web. 17 Apr 2021.

Vancouver:

Schmachtel R. Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. [Internet] [Doctoral dissertation]. Technische Universität Dortmund; 2003. [cited 2021 Apr 17]. Available from: http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-133.

Council of Science Editors:

Schmachtel R. Robuste lineare und nichtlineare Lösungsverfahren für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. [Doctoral Dissertation]. Technische Universität Dortmund; 2003. Available from: http://dx.doi.org/10.17877/DE290R-133

3. Mildner, Marcus. Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart : Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2013, Littoral

On considère le problème d’advection-diffusion stationnaire v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v) et non stationnaire d/dt (u(t), v) + v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (g(t), v), ainsi que le problème d’advection (β•∇u, v) = (f, v) sur un domaine polygonal borné du plan. Le terme de diffusion est approché par des éléments de Crouzeix Raviart et le terme de convection par une méthode upwind sur des volumes barycentriques finis avec un maillage triangulaire. Pour le problème stationnaire d’advection-diffusion, la L²-stabilité (c’est-à-dire indépendante du coefficient de diffusion v) est démontrée pour la solution du problème approché obtenue par cette méthode d’éléments finis et de volumes finis. Pour cela une condition sur la géométrie doit être satisfaite. Des exemples de maillages sont donnés. Toujours avec cette condition géométrique sur le maillage, une inégalité de stabilité (où la discrétisation en temps n’est pas couplée à une condition sur la finesse du maillage) est obtenue pour le cas non-stationnaire. La discrétisation en temps y est faite par un schéma d’Euler implicite. Une majoration de l’erreur, proportionnelle au pas en temps et à la finesse du maillage, est ensuite proposée et exprimée explicitement en fonction des données du problème. Pour le problème d’advection, une approche utilisant la théorie des graphes est utilisée pour obtenir l’existence et l’unicité de la solution, ainsi que le résultat de stabilité. Comme pour la stabilité du problème d’advection-diffusion, une condition géométrique - qui est équivalente pour les points intérieurs du maillage à celle du problème d’advection-diffusion - est nécessaire.

We consider the stationary linear convection-diffusion equation v(∇u, ∇v)+( β•∇u, v) = (f, v), the time dependent d/dt (u(t), v) + v(∇u,∇v)+( β•∇u, v)= (g(t), v) equation and the linear advection equation (β•∇u, v) = (f, v) on a two dimensional bounded polygonal domain. The diffusion term is discretized by Crouzeix-Raviart piecewise linear finite elements, and the convection term by upwind barycentric finite volumes on a triangular grid. For the stationary convection-diffusion problem, L²-stability (i.e. independent of the diffusion coefficient v) is proven for the approximate solution obtained by this combined finite-element finite-volume method. This result holds if the underlying grid satisfies a condition that is fulfilled, for example, by some structured meshes. Using again this condition on the grid, stability is shown for the time dependent convection-diffusion equation (without any link between mesh size and time step). An implicit Euler approach is used for the time discretization. It is shown that the error associated with this scheme decays linearly with the mesh size and the time step. This result holds without any link between mesh size and time step. The dependence of the corresponding error bound on the diffusion coefficient is completely explicit. For the stationary advection equation, an approach using graph theory is used to obtain existence, uniqueness and stability. As in the stationary…

Advisors/Committee Members: Deuring, Paul (thesis director).

Subjects/Keywords: Équation d’advection-diffusion; Méthode d’éléments et de volumes finis; Éléments finis de Crouzeix-Raviart; Volume fini barycentrique; Méthode upwind; Estimation de l’erreur; Équation d’advection; Graphe orienté; Existence; Unicité; Stabilité; Convection-diffusion equation; Combined finite element-finite volume method; Crouzeix-Raviart finite elements; Barycentric finite volumes; Upwind method; Error estimates; Advection equation; Directed graph; Existence; Uniqueness; Stability; Diffusions-Konvektions-Gleichung; Finite Elemente-finite Volumen Methoden; Crouzeix-Raviart finite Elemente; Baryzentrische finite Volumenelemente; Upwind-Methode; Fehlerabschätzung; Konvektions-Gleichung; Gerichteter Graph; Existenz; Eindeutigkeit; Stabilität

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APA (6th Edition):

Mildner, M. (2013). Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart : Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente. (Doctoral Dissertation). Littoral. Retrieved from http://www.theses.fr/2013DUNK0316

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Mildner, Marcus. “Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart : Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente.” 2013. Doctoral Dissertation, Littoral. Accessed April 17, 2021. http://www.theses.fr/2013DUNK0316.

MLA Handbook (7th Edition):

Mildner, Marcus. “Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart : Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente.” 2013. Web. 17 Apr 2021.

Vancouver:

Mildner M. Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart : Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente. [Internet] [Doctoral dissertation]. Littoral; 2013. [cited 2021 Apr 17]. Available from: http://www.theses.fr/2013DUNK0316.

Council of Science Editors:

Mildner M. Stabilité de l'équation d'advection-diffusion et stabilité de l'équation d'advection pour la solution du problème approché, obtenue par la méthode upwind d'éléments-finis et de volumes-finis avec des éléments de Crouzeix-Raviart : Stabilität des diffusions-konvektions-problems und stabilität des konvektions-problems für die losüng mittels upwind finite-elemente finte-volume methoden mit Crouzeix-Raviart elemente. [Doctoral Dissertation]. Littoral; 2013. Available from: http://www.theses.fr/2013DUNK0316

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