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1. O'Donovan, Richard. A theory of objects and visibility. A link between relative analysis and alternative set theory : Une théorie des objets et de leur visibilité. Un lien entre l'analyse relative et la théorie alternative des ensembles.

Degree: Docteur es, Mathématiques Pures, 2011, Université Blaise-Pascale, Clermont-Ferrand II

La théorie présentée ici est issue d'années d'enseignement de l'analyse au niveau pré-universitaire en utilisant d'abord le concept d'infiniment petit, tel que défini dans l'analyse nonstandard de Robinson, puis ensuite d'ultrapetit, tel que défini dans notre travail en collaboration avec Hrbacek et Lessmann et présenté en annexe. A la suite de ces recherches, s'est posée la question : Si l'on a à disposition des quantités finies mais ultragrandes, est-il possible de se passer de quantités dites infinies ? La théorie alternative des ensembles de Vopěnka est une théorie avec des ensembles finis et des classes qui, elles, peuvent être infinies. La théorie des objets est le résultat d'un mélange de certains axiomes de Vopěnka avec des axiomes déterminant des niveaux de visibilité tels que dans l'analyse relative. On s'est donné comme premier principe : x\subseteq y ⇒  x\sqsubseteq y qui spécifie que si l'objet x est inclus dans l'objet y, alors x "paraît" au niveau de y. Cette affirmation serait fausse avec des quantités infinies ; elle est néanmoins une caractérisation des ensembles finis : cela est bien connu en analyse nonstandard. L'introduction de ce principe comme point de départ est donc une affirmation forte que les objets devront être finis au sens habituel de ce terme. L'autre axiome fondateur ici est le schéma d'axiomes d'induction de Gordon et Andreev : Si Φ est une formule, et si Φ(\emptyset) est vrai et que Φ(x) et Φ(y) impliquent Φ(x\cup{y}), alors Φ(x) est vrai pour tout x. Un accent particulier est mis sur le concept de formules dites contextuelles. Ce concept est une de nos contributions à l'analyse relative de Hrbacek et détermine les formules bien formées. On montre que le système qui en résulte est relativement cohérent avec la théorie FRIST de Hrbacek et la théorie RIST de Péraire qui sont elles-mêmes des extensions conservatives de ZFC. La théorie des objets est une extension de la théorie des ensembles de Zermelo et Fraenkel sans axiome du choix et négation de l'axiome de l'infini. Les nombres entiers et rationnels sont définis et ces derniers sont munis de relations d'ultraproximité. Une ébauche d'une construction de "grains numériques" est présentée : ces nombres pourraient avoir des propriétés suffisamment semblables aux nombres réels pour permettre de faire de l'analyse.

The theory presented here stemmed from years of teaching analysis at pre-university level first using the concept of infinitesimal as defined in nonstandard analysis by Robinson, then the concept of ultrasmall as defined in our joint work with Hrbacek and Lessmann presented in the appendix. This research led to the question : If one has finite yet ultralarge quantities, is it possible to avoid infinite quantities ? The alternative set theory of Vopěnka is a theory of finite sets including classes that can be infinite. The theory of objects is a merger of certain axioms of Vopěnka with axioms that determine levels of visibility as in relative analysis. We took as first…

Advisors/Committee Members: Péraire, Yves (thesis director).

Subjects/Keywords: Analyse non standard; Analyse contextuelle; Théorie alternative des ensembles; Fondations; Fini; Niveau; IST; RIST; FRIST; Non standard analysis; Contextual analysis; Alternative set theory; Foundations; Finite; Level; IST; RIST; FRIST

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APA (6th Edition):

O'Donovan, R. (2011). A theory of objects and visibility. A link between relative analysis and alternative set theory : Une théorie des objets et de leur visibilité. Un lien entre l'analyse relative et la théorie alternative des ensembles. (Doctoral Dissertation). Université Blaise-Pascale, Clermont-Ferrand II. Retrieved from http://www.theses.fr/2011CLF22145

Chicago Manual of Style (16th Edition):

O'Donovan, Richard. “A theory of objects and visibility. A link between relative analysis and alternative set theory : Une théorie des objets et de leur visibilité. Un lien entre l'analyse relative et la théorie alternative des ensembles.” 2011. Doctoral Dissertation, Université Blaise-Pascale, Clermont-Ferrand II. Accessed December 08, 2019. http://www.theses.fr/2011CLF22145.

MLA Handbook (7th Edition):

O'Donovan, Richard. “A theory of objects and visibility. A link between relative analysis and alternative set theory : Une théorie des objets et de leur visibilité. Un lien entre l'analyse relative et la théorie alternative des ensembles.” 2011. Web. 08 Dec 2019.

Vancouver:

O'Donovan R. A theory of objects and visibility. A link between relative analysis and alternative set theory : Une théorie des objets et de leur visibilité. Un lien entre l'analyse relative et la théorie alternative des ensembles. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Blaise-Pascale, Clermont-Ferrand II; 2011. [cited 2019 Dec 08]. Available from: http://www.theses.fr/2011CLF22145.

Council of Science Editors:

O'Donovan R. A theory of objects and visibility. A link between relative analysis and alternative set theory : Une théorie des objets et de leur visibilité. Un lien entre l'analyse relative et la théorie alternative des ensembles. [Doctoral Dissertation]. Université Blaise-Pascale, Clermont-Ferrand II; 2011. Available from: http://www.theses.fr/2011CLF22145

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