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1. Banna, Marwa. Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2015, Université Paris-Est

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude de la distribution spectrale limite de grandes matrices aléatoires dont les entrées sont corrélées et traite également d'inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d'une somme de matrices aléatoires auto-adjointes et géométriquement absolument réguliers. On s'intéresse au comportement asymptotique de grandes matrices de covariances et de matrices de type Wigner dont les entrées sont des fonctionnelles d'une suite de variables aléatoires à valeurs réelles indépendantes et de même loi. On montre que dans ce contexte la distribution spectrale empirique des matrices peut être obtenue en analysant une matrice gaussienne ayant la même structure de covariance. Cette approche est valide que ce soit pour des processus à mémoire courte ou pour des processus exhibant de la mémoire longue, et on montre ainsi un résultat d'universalité concernant le comportement asymptotique du spectre de ces matrices. Notre approche consiste en un mélange de la méthode de Lindeberg par blocs et d'une technique d'interpolation Gaussienne. Une nouvelle inégalité de concentration pour la transformée de Stieltjes pour des matrices symétriques ayant des lignes m-dépendantes est établie. Notre méthode permet d'obtenir, sous de faibles conditions, l'équation intégrale satisfaite par la transformée de Stieltjes de la distribution spectrale limite. Ce résultat s'applique à des matrices associées à des fonctions de processus linéaires, à des modèles ARCH ainsi qu'à des modèles non-linéaires de type Volterra. On traite également le cas des matrices de Gram dont les entrées sont des fonctionnelles d'un processus absolument régulier (i.e. β-mélangeant).On établit une inégalité de concentration qui nous permet de montrer, sous une condition de décroissance arithmétique des coefficients de β-mélange, que la transformée de Stieltjes se concentre autour de sa moyenne. On réduit ensuite le problème à l'étude d'une matrice gaussienne ayant une structure de covariance similaire via la méthode de Lindeberg par blocs. Des applications à des chaînes de Markov stationnaires et Harris récurrentes ainsi qu'à des systèmes dynamiques sont données. Dans le dernier chapitre de cette thèse, on étudie des inégalités de déviation pour la plus grande valeur propre d'une somme de matrices aléatoires auto-adjointes. Plus précisément, on établit une inégalité de type Bernstein pour la plus grande valeur propre de la somme de matrices auto-ajointes, centrées et géométriquement β-mélangeantes dont la plus grande valeur propre est bornée. Ceci étend d'une part le résultat de Merlevède et al. (2009) à un cadre matriciel et généralise d'autre part, à un facteur logarithmique près, les résultats de Tropp (2012) pour des sommes de matrices indépendantes

In this thesis, we investigate mainly the limiting spectral distribution of random matrices having correlated entries and prove as well a Bernstein-type inequality for the largest eigenvalue of the sum of self-adjoint random matrices that are geometrically…

Advisors/Committee Members: Merlevède, Florence (thesis director).

Subjects/Keywords: Matrices Aléatoires; Matrices de covariance empirique; Distribution spectrale limite; Processus absolument régulier; Inégalités de déviation; Random Matrices; Sample covariance matrices; Limiting spectral distribution; Absolutely regular processes; Deviiation inequalities

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APA (6th Edition):

Banna, M. (2015). Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality. (Doctoral Dissertation). Université Paris-Est. Retrieved from http://www.theses.fr/2015PESC1107

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Banna, Marwa. “Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality.” 2015. Doctoral Dissertation, Université Paris-Est. Accessed July 11, 2020. http://www.theses.fr/2015PESC1107.

MLA Handbook (7th Edition):

Banna, Marwa. “Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality.” 2015. Web. 11 Jul 2020.

Vancouver:

Banna M. Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Paris-Est; 2015. [cited 2020 Jul 11]. Available from: http://www.theses.fr/2015PESC1107.

Council of Science Editors:

Banna M. Distribution spectrale limite pour des matrices à entrées corrélées et inégalité de type Bernstein : Limiting spectral distribution for matrices with correlated entries and Bernstein-type inequality. [Doctoral Dissertation]. Université Paris-Est; 2015. Available from: http://www.theses.fr/2015PESC1107

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