▼ Neste trabalho generalizaremos para o caso de curvatura escalar zero, os resultados de Simmons [14] para cones mÃnimos em Rn+1. Se Mn−1 à uma hipersuperfıcie da esfera Sn(1) representamos por C(M)" o cone truncado com base em M e centro na origem. à fÃcil ver que M tem curvatura escalar zero se, e somente se, o cone com base em M tambÃm tem curvatura escalar zero. Hounie e Leite [10] recentemente deram condiÃÃes para a elipticidade da equaÃÃo diferencial parcial da curvatura escalar. Para mostrar isto temos que assumir n maior ou igual a 4 e que a 3 â curvatura de M à diferente de zero. Para tais cones,provaremos que, para n menor ou igual a 7 existe um " para o qual o cone truncado C(M)" nÃo à estÃvel. TambÃm mostraremos que para n maior ou igual a 8 existem hipersuperfÃcies compactas e orientÃveis Mn−1 da esfera com curvatura escalar zero e S3 diferente de zero, para as quais todos os cones truncados com base em M sÃo estÃveis. Advisors/Committee Members: JoÃo Lucas Marques Barbosa, Henrique Fernandes de Lima, Antonio Gervasio Colares.

▼ 

O objetivo desta dissertaÃÃo à apresentar uma demonstraÃÃo para uma desigualdade pontual, denominada conjectura da curvatura escalar normal, a qual à vÃlida para subvariedades n-dimensionais, Mn, imersas isometricamente em formas espaciais Nn+m(c) de curvatura seccional constante c.

In this work we present a proof of the Normal Scalar Curvature Conjecture for submanifolds Mn, isometrically immersed into space forms Nn+m(c) of constant sectional curvature c.

Advisors/Committee Members: Antonio Caminha Muniz Neto, Paulo Alexandre AraÃjo Sousa, AbdÃnago Alves de Barros.

▼ Aqui estabelecemos um resultado de classificacao de superficies minimas, completas e estaveis imersas em 3-variedades de curvatura escalar nao-negativa, ou seja, dizemos a quem nossa superficie S à conforme, e para isso analisamos separadamente os casos em que S à compacta ou nÃo-compacta. AlÃm dos corolarios obtidos no caso em que o ambiente à o espaÃo R3, obtemos uma aplicaÃÃo desse teorema de classificaÃÃo a qual dà uma caracterizaÃÃo intrinseca para mÃtricas no plano complexo C e na esfera S2 que podem ser realizadas em superfÃcies completas e estÃveis imersas em 3-variedades completas de curvatura escalar nula. Advisors/Committee Members: Antonio Caminha Muniz Neto, Marcos PetrÃcio de Almeida Cavalcante, AbdÃnago Alves de Barros.

▼ 

O principal objetivo deste trabalho à apresentar uma generalizaÃÃo das mÃtricas quasi-Einstein generalizadas para campos de vetores suaves quaisquer. AlÃm disso, serÃo apresentadas algumas fÃrmulas integrais para mÃtricas quasi-Einstein gradiente generalizadas definidas em uma variedade compacta.

The main objective of this paper is to present a generalization of generalized quasi-Einstein metrics to any smooth vector fields. Moreover, we will present some integral formulae for quasi-Einstein metrics defined in a compact manifolds.

Advisors/Committee Members: AbdÃnago Alves de Barros, Ernani de Sousa Ribeiro Junior, CÃcero Pedro de Aquino.

▼ 

Nosso objetivo nesse trabalho à apresentar um teorema que caracteriza os solitons gradiente rÃgidos para caso nÃo compacto. Como aplicaÃÃo provaremos que os solitons gradiente homogÃneos sÃo rÃgidos e apresentaremos um exemplar de soliton de Ricci que nÃo pode ser gradiente.

Our goal in this work is to present a theorem which characterizes the gradient solitons rigid for non-compact case. As an application we prove that the homogeneous gradient solitons are rigid and provide an example of the Ricci soliton can not be gradient.

Advisors/Committee Members: Jorge Herbert Soares de Lira, AbdÃnago Alves de Barros, Paulo Alexandre AraÃjo Sousa.

▼ Em 1983, R. Schoen provou que as únicas hipersuperfícies mínimas completas imersas em Rn+1, com dois fins regulares, são o catenóide e pares de planos. Os métodos por ele utilizados levaram J. Hounie e M. L. Leite a provar um resultado análogo para hipersuperfícies com curvatura escalar nula, ver [6]. A principal diferença entre as demonstrações dos dois teoremas, está no fato que a equação para a curvatura média nula sempre é elíptica, ao contrário da equação para a curvatura escalar nula, que nem sempre é elíptica. Daí, a necessidade de hipóteses a mais na versão para a curvatura escalar, a saber que a terceira função de curvatura não se anula. Neste trabalho apresentamos as ferramentas fundamentais para provar o teorema de Hounie-Leite, que são o Princípio do Máximo para equações elípticas, o Princípio da Tangência para hipersuperfícies com curvatura intermediária nula e um princípio de reflexão para hipersuperfície compactas com fronteira com curvatura intermediária nula. Também apresentamos a demonstração do teorema de Hounie-Leite Advisors/Committee Members: José Morais de Araújo, Henrique (advisor).

▼ 

Nosso objetivo nesse trabalho à apresentar uma generalizaÃÃo das mÃtricas quasi-Einstein para campo de vetores suaves nÃo necessariamente gradiente, alÃm disso, apresentar algumas fÃrmulas integrais para mÃtricas quasi-Einstein gradiente definidas numa variedade compacta e como aplicaÃÃo expor trÃs resultados importantes, sendo um deles uma caracterizaÃÃo para tais classes de variedades compactas de dimensÃo dois.

Our objective in this work is to present a generalization of quasi-Einstein metrics for vector field is not necessarily smooth gradient also present some integral formulas for compact quasi-Einstein metrics defined in a compact and as application set out three important results, one being characterized such classes for a compact manifolds of dimension two.

Advisors/Committee Members: AbdÃnago Alves de Barros, Ernani de Sousa Ribeiro Junior, CÃcero Pedro de Aquino.

▼ 

Neste trabalho nós estudamos os resultados de rigidez obtidos no artigo intitulado "On gradient Ricci solitons with constant scalar curvature" por Fernández-López e Garcia-Río [Proc. Amer. Math. Soc. 114 (2016) 369-373]. Eles provaram que: Se a curvatura escalar de um sóliton de Ricci gradiente for constante, então ela é um múltiplo da constante da equação fundamental do sóliton de Ricci. Este fato foi uma das principais ferramentas para eles obterem os resultados de rigidez subsequentes.

In this work we study the rigidity results obtained in the papper titled "On gradient Ricci solitons with constant scalar curvature" by Fernández-López and Garcia-Río [Proc. Amer. Math. Soc. 114 (2016) 369-373]. They proved that: if the scalar curvature of a gradient Ricci soliton is constant then it is a multiple of the constant of the fundamental equation of the Ricci soliton. This fact was one of the main tools for them to obtain subsequent rigidity results.

FAPEAM - Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado do Amazonas

Advisors/Committee Members: Gomes, José Nazareno Vieira, 57396205204, http://lattes.cnpq.br/5896951132632512, Freitas Filho, Antonio Airton, http://lattes.cnpq.br/3677204080145270, Matos Neto, Manoel Vieira de, http://lattes.cnpq.br/7739393928816377, [email protected], 57396205204.

▼ 

Nesta tese, provamos estimativas para o volume e Ãrea do bordo de hipersuperficies estÃveis ∑n-1 com invariante de Yamabe nÃo positivo satisfazendo à condiÃÃo de bordo livre em uma variedade Riemanniana de dimensÃo n com limitaÃÃo na curvatura escalar e curvatura mÃdia do bordo. Supondo ainda que ∑ à localmente minimizante de volume em uma variedade M com curvatura escalar limitada inferiormente por uma constante nÃo positiva, concluÃmos que localmente M divide-se ao longo ∑ como (-Є, Є)x ∑, para algum Є > 0. No caso em que ∑ localmente minimiza um funcional adequado inspirado pelo trabalho de Yau (2001), uma vizinhanÃa de ∑ em M à isomÃtrica a ((-Є, Є) x ∑, dt2 +e2tg), onde g à Ricci plana. Na segunda parte, estudamos outro fenÃmeno de rigidez pela curvatura escalar adaptando a tÃcnica desenvolvida por MÃximo e Nunes (2013) para mostrar um resultado local de rigidez para uma variedade Riemanniana tridimensional M3 cuja curvatura escalar à limitada inferiormente por um constante negativa. Provamos o seguinte resultado: Seja ∑2 ⊂ M3 uma superfÃcie mÃnima estritamente estÃvel que localmente maximiza a massa Hawking em M. EntÃo M perto de ∑ à um pedaÃo de um dos espaÃos de Kottler.

In this thesis, we prove estimates for the volume and boundary area of stable hypersurfaces ∑n-1 with nonpositive Yamabe invariant satisfying the free boundary condition in a Riemannian manifold Mn with bounds for the scalar curvature and the mean curvature of the boundary. Assuming further that ∑ is locally volume-minimizing in a manifold M with scalar curvature bounded below by a nonpositive constant, we conclude that locally M splits along ∑ as (-Є, Є)x ∑, for some Є > 0. In the case that ∑ locally minimizes a certain functional inspired by the work of Yau (2001), a neighborhood of ∑ in M is isometric to ((-Є, Є) x ∑, dt2 + e2tg), where g is Ricci at. In the second part, we study other scalar curvature rigidity phenomena adapting a technique developed by MÃximo e Nunes (2013) to show a local rigidity result for three-dimensional Riemannian manifold M3 whose scalar curvature is bounded from below by a negative constant. We prove the following result: Let ∑2 ⊂ M3 be a stable minimal surface which locally maximizes the Hawking mass on M. Then M near ∑ is a piece of one the Kottler space.

Advisors/Committee Members: Levi Lopes de Lima, Gregorio Pacelli Feitosa Bessa, Paulo Alexandre AraÃjo Sousa, Josà FÃbio Bezerra Montenegro, AbdÃnago Alves de Barros.

▼ 

Neste trabalho apresentamos uma classificaÃÃo das hipersuperficies rotacionais com curvatura escalar constante nas formas espaciais devida a M. Leite

In this work we present a classification theorem for the rotational hypersurfaces with constant scalar curvature in the space forms due to M.Leite

Advisors/Committee Members: HilÃrio Alencar da Silva, Josà de Anchieta Delgado, JoÃo Lucas Marques Barbosa.

▼ 

This dissertation has as base Jocelino Sato and Vicente de Souza Neto's paper called Complete and Stable O(p + 1) x O(q + 1)-Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, published on the Annals of Global Analysis and Geometry - 29 in 2006. The main result of this dissertation is the Classi_cation Theorem, which states: The O(p+1) x O(q+1)-Invariant Hypersurfaces in Rp+q+2, p; q > 1, with zero scalar curvature belong to one of the following classes: (1) Cones with a singularity at the orign of Rp+q+2; (2) Hypersurfaces having one orbit of singularity and asymptoting both of the cones Cα and Cβ; (3) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cα; (4) Regular hypersurfaces asymptoting the cone Cβ; (5) Regular hypersurfaces asymptoting both of the cones Cα and Cβ. It was reached by the studies of the ordinary differential equation on R2, involving the coordenate curves that generate these hypersurfaces. Such differential equation, in its turn, is associated with a vector field X : R22 → R2 on the plan. The study of the orbits space in this field is essential; after all, because of it, it was possible to translate the X orbits' behavior into information concerning the profile curves and, finally, reach the theorem.

Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de Alagoas

Esta dissertação está baseada no artigo de Jocelino Sato e Vicente de Souza Neto intitulado Complete and Stable O(p+1) x O(q+1) - Invariant Hypersurfaces with Zero Scalar Curvature in Euclidean Space Rp+q+2, publicado na revista Annals of Global Analysis and Geometry, volume 29, em 2006. O principal resultado desta dissertação é o Teorema de Classicação, que afirma o seguinte: Uma hipersuperfície Mp+q+1 que é invariante pela açãoao do grupo O(p + 1) x O(q + 1), p; q > 1, com curvatura escalar identicamente nula deve pertencer a uma das seguintes classes: (1) Cones com uma singularidade na origem de Rp+q+2; (2) Hipersuperfícies possuindo uma órbita de singularidades e assintotando ambos os cones Cα e Cβ; (3) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cα; (4) Hipersuperfícies regulares que assintotam o cone Cβ; (5) Hipersuperfícies regulares que assintotam ambos os cones Cα e Cβ. A demonstração do teorema requer um estudo de uma equação diferencial ordinária envolvendo as coordenadas das curvas, no plano, que geram estas hipersuperfícies. Esta equação diferencial, por sua vez, está associada a um campo de vetores X : R2 → R2 no plano. O estudo do retrato de fase deste campo é fundamental. Através dele, foi possível traduzir o comportamento das trajetórias de X em informações com respeito às curvas geratrizes e desta maneira obter o teorema.

Advisors/Committee Members: Espinoza, Fernando Enrique Echaiz, CPF:05158874719, Echaiz-Espinoza, F. E., Marques, Fernando Codá dos Santos Cavalcanti, CPF:00824031474, http://lattes.cnpq.br/4688693754938462, Silva, Hilário Alencar da, CPF:12873691468, http://lattes.cnpq.br/1661480072159875.

▼ 

Nesta dissertação estudamos as hipersuperfícies que possuem curvatura escalar nula. O trabalho teve como foco as hipersuperfícies invariantes por um subgrupo de isometrias, que são obtidas através de uma curva geratriz parametrizada pelo comprimento de arco. Usamos as geratrizes para reduzir as equações diferenciais parciais das curvaturas escalares S, num sistema de coordenadas locais, tornando-as equações diferenciais ordinárias nas coordenadas da geratriz. Fizemos uma síntese do estudo qualitativo de equações diferenciais ordinárias para concluirmos a dissertação, analisando as equações ordinárias das curvaturas escalares e classificamos as hipersuperfícies de R4 com curvatura escalar nula que são invariantes por um dos seguintes subgrupos de isometrias: O(3), O(2) x O(2).

In this dissertation we study hypersurfaces with zero scalar curvature. The work is based on hypersurfaces that are invariant by an isometry subgroup and are generated by curves parametrized by arc length. These curves are used to transform the partial dierential equations S, given by local coordinates, into ordinary dierential equations given by the coordinates of the curves that generate the hypersurfaces. We made a summary of the qualitative study of ordinary dierential equations to conclude the dissertation, analyzing the dierential equations and classifying the O (3)-invariant hypersurfaces and O(2) x O(2)-invariant hypersurfaces with zero scalar curvature.

Advisors/Committee Members: Edson Agustini, Jocelino Sato, José Miguel Malacarne.

▼ 

Esta dissertação tem como fundamento o estudo detalhado dos resultados de rigidez obtidos no preprint intitulado “A note on gradient Einstein-type manifolds” devido a José N. V. Gomes [arXiv:1710.10549, preprint 2017]. Mais precisamente, foi provado que uma variedade tipo-Einstein gradiente compacta com curvatura escalar constante é isométrica a uma esfera padrão com função potencial dada explicitamente. No caso não compacto, foi assumido as hipóteses do Teorema de Karp e de curvatura escalar constante para deduzir que uma variedade tipo-Einstein gradiente é isométrica a um espaço Euclidiano, um espaço hiperbólico ou um produto deformado Einstein. Finalmente, sob certas condições dos parâmetros, foi mostrado que uma variedade tipo-Einstein gradiente homogênea, não compacta e não degenerada é Einstein.

This dissertation is based on the detailed study of rigidity results obtained in the preprint entitled “A note on gradient Einstein-type manifolds” due to José N. V. Gomes [arXiv:1710.10549, preprint 2017]. More precisely, it has been proved that a compact gradient Einstein-type manifold with constant scalar curvature is isometric to a standard sphere with potential function explicitly given. In noncompact case, was assumed the hypotheses of Karp’s Theorem and constant scalar curvature to deduce that a gradient Einstein-type manifold is isometric to a Euclidean space, a hyperbolic space or a Einstein warped product. Finally, under certain conditions of the parameters, it has been shown that a homogeneous, noncompact and nondegenerate gradient Einstein-type manifold is Einstein.

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

Advisors/Committee Members: Freitas Filho, Antonio Airton, 03370377365, http://lattes.cnpq.br/3677204080145270, Matos Neto, Manoel Vieira de, http://lattes.cnpq.br/7739393928816377, Gomes, José Nazareno Vieira, http://lattes.cnpq.br/5896951132632512, [email protected].

▼ 

Esta dissertação tem como propósito explicar as métricas críticas do funcional curvatura escalar total (CPE) e detalhar os resultados principais obtidos nos artigos intitulados "A note on critical point metrics of the total scalar curvature" devido a Leandro Benedito [Math. Anal. Appl. Vol 424, 1544-1548 (2015)] e "Remarks on critical point metrics of the total scalar curvature" devido a Francisco B. Filho [Math. Arch. Vol 104, 463-470 (2015)]. No primeiro foi provado que se uma determinada função, em termos da função potencial, de uma CPE é constante então a variedade é Einstein. Já no segundo foi demonstrado que sob algumas fórmulas integrais adequadas da esfera canônica, a variedade é isométrica a uma esfera padrão de algum raio e sua função potencial é uma primeira autofunção do Laplaciano.

This dissertation aims to explain the critical metrics of the total scalar curvature functional (CPE) and to detail the main results obtained in the articles entitled "A note on critical point metrics of the total scalar curvature" due to Leandro Benedito [Math. Anal. Appl. Vol. 424, 1544-1548 (2015)] and "Remarks on critical point metrics of the total scalar curvature" due to Francisco B. Filho [Math. Arch. Vol 104, 463-470 (2015)]. In the first, it has been proved that if a given function in terms of the potential function of a CPE is constant then the manifold is Einstein. Already in the second, it has been shown that under some suitable integral conditions of the canonical sphere, the manifold is isometric to a standard sphere of some ray and its potential function is a first autofunction of the Laplacian.

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Advisors/Committee Members: Freitas Filho, Antonio Airton, 03370377365, http://lattes.cnpq.br/3677204080145270, Gomes, José Nazareno Vieira, http://lattes.cnpq.br/5896951132632512, Freitas, Allan George de Carvalho, http://lattes.cnpq.br/2190744931508384, [email protected].

▼ 

Neste trabalho vamos estudar o conceito de h-quase sólitons de Ricci introduzido por Gomes-Wang-Xia o qual é uma extensão natural dos quase sólitons de Ricci estudados por Pigola et al. Com esta configuração, vamos mostrar que um h-quase sóliton de Ricci compacto de curvatura escalar constante não-trivial de dimensão maior ou igual a três e li possuindo sinal definido é isométrico a uma esfera euclidiana com função potencial explicita-mente definida. Logo após, também vamos considerar h-sólitons de Ricci os quais são casos particulares dos h-quase sólitons de Ricci e uma generalização dos tradicionais sólitons de Ricci. Vamos provar que um caso particular de h-sóliton de Ricci gradiente compacto estacionário ou expansivo, é trivial. Além disso, exibiremos uma caracterização para uma classe especial de h-sólitons de Ricci gradiente.

In this work we study the concept h-almost Ricci soliton introduced by Gomes-Wang-Xia which extends naturally the almost Ricci soliton studied by Pigola et al. In this setting, we show that a compact nontrivial h-almost Ricci soliton of dimension no less than three with h positive (or negative) and constant scalar curvature is isometric to a standard sphere with well defined potential function. Latter on, we also consider h-Ricci soliton which is a particular case of the h-almost Ricci soliton and a generalization of the traditional Ricci soliton. We prove that a particular case of compact gra-dient h-Ricci soliton steady or expanding, is trivial. Moreover, we give a characterization for a special class of gradient h-Ricci solitons.

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Advisors/Committee Members: Gomes, José Nazareno Vieira, 57396205204, http://lattes.cnpq.br/5896951132632512, Neklyudov, Mikhail, Santos, Fábio Reis dos, [email protected].

▼ 

Esta tese està composta de quatro partes distintas. Na primeira parte, vamos dar uma nova caracterizaÃÃo da esfera euclidiana como a Ãnica variedade Riemanniana compacta com curvatura escalar constante e admitindo um campo de vetores conforme nÃo trivial que à tambÃm Ricci conforme. Na segunda parte, provaremos algumas propriedades dos quase sÃlitons de Ricci, as quais permitem estabelecer condiÃÃes de rigidez desses objetos, bem como caracterizar as estruturas de quase sÃlitons de Ricci gradiente na esfera euclidiana. ImersÃes isomÃtricas tambÃm serÃo consideradas; classificaremos os quase sÃlitons de Ricci imersos em formas espaciais, atravÃs de uma condiÃÃo algÃbrica sobre a funÃÃo sÃliton. AlÃm disso, vamos caracterizar, atravÃs de uma condiÃÃo sobre o operador de umbilicidade, as hipersuperfÃcies n-dimensionais de uma forma espacial, com curvatura mÃdia constante, tendo duas curvaturas principais distintas e com multiplicidades p e n - p. Na terceira parte, provaremos um resultado de rigidez e algumas fÃrmulas integrais para uma mÃtrica m-quasi-Einstein generalizada compacta. Na Ãltima parte, vamos apresentar uma relaÃÃo entre a curvatura gaussiana e o Ãngulo de contato de superfÃcies imersas na esfera euclidiana tridimensional,a qual permite concluir que a superfÃcie à plana, se o Ãngulo de contato for constante. AlÃm disso, deduziremos que o toro de Clifford à a Ãnica superfÃcie compacta com curvatura mÃdia constante tendo tal propriedade.

This thesis is composed of four distinct parts. In the first part, we shall give a new characterization of the Euclidean sphere as the only compact Riemannian manifold with constant scalar curvature carrying a conformal vector eld non-trivial which is also Ricci conformal. In the second part, we shall prove some properties of almost Ricci solitons, which allow us to establish conditions for rigidity of these objects, as well as characterize the structures of gradient almost Ricci soliton in Euclidean sphere. Isometric immersions also will be considered, we shall classify almost Ricci solitons immersed in space forms, through algebraic condition on soliton function. Furthermore, we characterize under a condition of the umbilicity operator, n-dimensional hypersurfaces in a space form with constant mean curvature, admitting two distinct principal curvatures with multiplicities p and n - p. In the third part, we prove a result of rigidity and some integral formulae for a compact generalized m-quasi-Einstein metric. In the last part, we present a relation between the Gaussian curvature and the contact angle of surfaces immersed in Euclidean three-dimensional sphere, which allows us to conclude that such a surface is at provided its contact angle is constant. Moreover, we deduce that Clifford tori are the unique compact surfaces with constant mean curvature having such property.

Advisors/Committee Members: Gregorio Pacelli Feitosa Bessa, AbdÃnago Alves de Barros, Renato de Azevedo Tribuzy, Ernani de Sousa Ribeiro Junior, Francesco Mercuri.

▼ 

Esta tese està dividida em quatro partes. Na primeira delas estudaremos pontos crÃticos do funcional curvatura escalar total restrito ao espaÃo das mÃtricas de curvatura escalar constante e volume unitÃrio. Provaremos que sob certas condiÃÃes integrais convenientes os pontos crÃticos de tal funcional sÃo variedades de Einstein provando assim a conjectura dos pontos crÃticos neste caso. Na segunda parte, veremos duas estimativas para o primeiro autovalor do Laplaciano de uma variedade compacta com curvatura de Ricci limitada por baixo por uma constante. As estimativas que obtemos melhoram a estimativa correspondente provada por Li e Yau (1980). Na terceira parte, estamos interessados em estimar o diÃmetro de hipersuperfÃcies mÃnimas da esfera. A estimativa que encontramos depende apenas do primeiro autovalor do Laplaciano da hipersuperfÃcie considerada. Para superfÃcies imersas na esfera de dimensÃo trÃs, obtemos uma estimativa ligeiramente melhor do que a obtida no caso de dimensÃo alta. Na Ãltima parte, introduzimos o conceito de variedade de energia constante e provamos que a esfera e o toro sÃo as Ãnicas superfÃcies que tÃm energia constante. Em dimensÃo mais alta a situaÃÃo à bem diferente uma vez que o produto de uma esfera por qualquer variedade compacta tem energia constante. Entretanto, se impusermos uma condiÃÃo sobre a curvatura de Ricci, à possÃvel caracterizar a esfera tambÃm neste caso. Em seguida, aplicamos as informa-ÃÃes obtidas ao estudo de hipersuperfÃcies da esfera provando alguns resultados de rigidez desde que a hipersuperfÃcie tenha energia constante.

This thesis is divided into four parts. In the first one we study the critical points of the total scalar curvature functional restricted to the space of metrics with constant scalar curvature and volume one. We shall prove that under certain suitable integral conditions the critical points of such functional are Einstein manifolds proving this way the critical point equation conjecture in this case. In the second part, we will provide an estimate for the first eigenvalue of the Laplacian of a compact manifolds with Ricci curvature bounded from below by a constant. The estimate we obtain improves the corresponding estimate proved by Li and Yau (1980). In the third part, we are interested in to estimate the diameter of minimal hypersurfaces of the sphere. The estimate we get depends only on the first eigenvalue of the Laplacian of the considered hypersurface. For immersed surfaces on the three dimensional sphere, we obtain an estimate slightly better than the one obtained in the case of higher dimension. In the last part, we introduce the concept of manifolds with constant energy and prove that the sphere and the torus are the only compact surfaces that have constant energy. For higher dimension, the situation is very different sine the product of the sphere with any compact manifold has constant energy. Nevertheless, if we impose a condition over the Ricci curvature it is possible to characterize the sphere also in this case. After that, we…

Advisors/Committee Members: AbdÃnago Alves de Barros, Ernani de Sousa Ribeiro Junior, JoÃo Francisco da Silva Filho, Marcos Ferreira de Melo, Josà Nazareno Vieira Gomes.