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1. Courte, Sylvain. H-cobordismes en géométrie symplectique : H-cobordisms in symplectic geometry.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2015, Lyon, École normale supérieure

À toute variété de contact, on peut associer canoniquement une variété symplectique appelée sa symplectisation de sorte que la géométrie de contact peut se reformuler en termes de géométrie symplectique équivariante. Au sujet de cette construction fondamentale, une question basique restait ouverte : si deux variété de contact ont des symplectisations isomorphes sont-elles isomorphes ? On construit dans cette thèse des contre-exemples à cette question. Il existe en effet, en toute dimension impaire supérieure ou égale à 5, des variétés de contact non difféomorphes admettant pourtant des symplectisations isomorphes. On construit également, sur une même variété deux structures de contact non conjuguées par un difféomorphisme mais admettant des symplectisations isomorphes. Les démonstrations sont basées sur un phénomène bien connu en topologie différentielle (l'existence de h-cobordismes non triviaux, détectée par la torsion de Whitehead) ainsi que sur des résultats de flexibilité en géométrie symplectique dus à Cieliebak et Eliashberg. Un autre résultat de cette th?e affirme que ces variété de contact, bien que non isomorphes, le deviennent toutefois après un nombre suffisant de sommes connexes avec un produit de sphères.

To any contact manifold one can associate a symplectic manifold called its symplectisation in such a way that contact geometry can be reformulated in terms of equivariant symplectic geometry. Concerning this fundamental construction, a basic question remained open : if two contact manifolds have isomorphic symplectizations, are they isomorphic ? In this thesis, we construct counter-examples to this question. Indeed, in any odd dimension greater than or equal to 5, there exist non-diffeomorphic contact manifolds with isomorphic symplectisations. In addition, we construct two contact structures on a closed manifold that are not conjugate by a diffeomorphism though their symplectizations are isomorphic. The proofs are based on a well-known phenomenon in differential topology (the existence of non-trivial h-cobordisms, detected by Whitehead torsion) as well as flexibility results in symplectic geometry due to Cieliebak and Eliashberg. Another result from this thesis asserts that though these contact manifolds are not isomorphic, they become so after sufficiently many connect sum with a product of spheres.

Advisors/Committee Members: Giroux, Emmanuel (thesis director).

Subjects/Keywords: Variétés de contact; Variétés symplectiques; Symplectisation; Cobordismes de Weinstein; H-principe; H-cobordismes; Torsion de Whitehead; Contact manifolds; Symplectic manifolds; Symplectization; Weinstein cobordisms; H-principle; H-cobordisms; Whitehead torsion

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APA (6th Edition):

Courte, S. (2015). H-cobordismes en géométrie symplectique : H-cobordisms in symplectic geometry. (Doctoral Dissertation). Lyon, École normale supérieure. Retrieved from http://www.theses.fr/2015ENSL0991

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Courte, Sylvain. “H-cobordismes en géométrie symplectique : H-cobordisms in symplectic geometry.” 2015. Doctoral Dissertation, Lyon, École normale supérieure. Accessed February 26, 2021. http://www.theses.fr/2015ENSL0991.

MLA Handbook (7th Edition):

Courte, Sylvain. “H-cobordismes en géométrie symplectique : H-cobordisms in symplectic geometry.” 2015. Web. 26 Feb 2021.

Vancouver:

Courte S. H-cobordismes en géométrie symplectique : H-cobordisms in symplectic geometry. [Internet] [Doctoral dissertation]. Lyon, École normale supérieure; 2015. [cited 2021 Feb 26]. Available from: http://www.theses.fr/2015ENSL0991.

Council of Science Editors:

Courte S. H-cobordismes en géométrie symplectique : H-cobordisms in symplectic geometry. [Doctoral Dissertation]. Lyon, École normale supérieure; 2015. Available from: http://www.theses.fr/2015ENSL0991

2. Vérine, Alexandre. Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2018, Lyon

La géométrie symplectique et la géométrie complexe sont intimement liées, en particulier par les techniques asymptotiquement holomorphes de Donaldson et Auroux d'une part et par les travaux d’Eliashberget et Cieliebak sur la pseudoconvexité d'autre part. Les travaux présentés dans cette thèse sont motivés par ces deux liens. On donne d’abord la caractérisation symplectique suivante des constantes de Seshadri. Dans une variété complexe, la constante de Seshadri d’une classe de Kähler entière en un point est la borne supérieure des capacités de boules standard admettant, pour une certaine forme de Kähler dans cette classe, un plongement holomorphe et iso-Kähler de codimension 0 centré en ce point. Ce critère était connu de Eckl en 2014 ; on en donne une preuve différente. La deuxième partie est motivée par la question suivante de Donaldson : <<Toute sphère lagrangienne d'une variété projective complexe est-elle un cycle évanescent d'une déformation complexe vers une variété à singularité conique ?>> D'une part, on présente toute sous-variété lagrangienne close d’une variété symplectique/kählérienne close dont les périodes relatives sont entières comme lieu des minima d’une exhaustion <<convexe>> définie sur le complémentaire d'une section hyperplane symplectique/complexe. Dans le cadre kählérien, <<convexe>> signifie strictement plurisousharmonique tandis que dans le cadre symplectique, cela signifie de Lyapounov pour un champ de Liouville. D'autre part, on montre que toute sphère lagrangienne d'un domaine de Stein qui est le lieu des minima d’une fonction <<convexe>> est un cycle évanescent d'une déformation complexe sur le disque vers un domaine à singularité conique.

Symplectic geometry and complex geometry are closely related, in particular by Donaldson and Auroux’s asymptotically holomorphic techniques and by Eliashberg and Cieliebak’s work on pseudoconvexity. The work presented in this thesis is motivated by these two connections. We first give the following symplectic characterisation of Seshadri constants. In a complex manifold, the Seshadri constant of an integral Kähler class at a point is the upper bound on the capacities of standard balls admitting, for some Kähler form in this class, a codimension 0 holomorphic and iso-Kähler embedding centered at this point. This criterion was known by Eckl in 2014; we give a different proof of it. The second part is motivated by Donaldon’s following question: ‘Is every Lagrangian sphere of a complex projective manifold a vanishing cycle of a complex deformation to a variety with a conical singularity?’ On the one hand, we present every closed Lagrangian submanifold of a closed symplectic/Kähler manifold whose relative periods are integers as the lowest level set of a ‘convex’ exhaustion defined on the complement of a symplectic/complex hyperplane section. In the Kähler setting ‘complex’ means strictly plurisubharmonic while in the symplectic setting it refers to the existence of a Liouville pseudogradient. On the other hand, we prove that any Lagrangian sphere of a…

Advisors/Committee Members: Giroux, Emmanuel (thesis director).

Subjects/Keywords: Fonctions plurisousharmoniques; Domaines de Stein; Cycles évanescents; Cobordismes de Weinstein; Sections hyperplanes; Constantes de Seshadri; Variétés symplectiques; Plurisubharmonic functions; Vanishing cycles; Stein domains; Weinstein cobordisms; Hyperplane sections; Seshadri constants; Symplectic manifolds

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APA (6th Edition):

Vérine, A. (2018). Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds. (Doctoral Dissertation). Lyon. Retrieved from http://www.theses.fr/2018LYSEN038

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Vérine, Alexandre. “Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds.” 2018. Doctoral Dissertation, Lyon. Accessed February 26, 2021. http://www.theses.fr/2018LYSEN038.

MLA Handbook (7th Edition):

Vérine, Alexandre. “Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds.” 2018. Web. 26 Feb 2021.

Vancouver:

Vérine A. Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds. [Internet] [Doctoral dissertation]. Lyon; 2018. [cited 2021 Feb 26]. Available from: http://www.theses.fr/2018LYSEN038.

Council of Science Editors:

Vérine A. Quelques propriétés symplectiques des variétés Kählériennes : Some symplectic properties of Kähler manifolds. [Doctoral Dissertation]. Lyon; 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018LYSEN038

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