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1. Ren, Jinbo. Autour de la conjecture de Zilber-Pink pour les Variétés de Shimura : Around the Zilber-Pink Conjecture for Shimura Varieties.

Degree: Docteur es, Mathématiques fondamentales, 2018, Paris Saclay

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de l'arithmétique et de la géométrie des variétés de Shimura. Cette thèse s'est essentiellement organisée autour de trois volets. Dans la première partie, on étudie certaines applications de la théorie des modèles en théorie des nombres. En 2014, Pila et Tsimerman ont donné une preuve de la conjecture d'Ax-Schanuel pour la fonction j et, avec Mok, ont récemment annoncé une preuve de sa généralisation à toute variété de Shimura. Nous nous référons à cette généralisation comme à la conjecture d'Ax-Schanuel hyperbolique. Dans ce projet, nous cherchons à généraliser les idées de Habegger et Pila pour montrer que, sous un certain nombre d'hypothèses arithmétiques, la conjecture d'Ax-Schanuel hyperbolique implique, par une extension de la stratégie de Pila-Zannier, la conjecture de Zilber-Pink pour les variétés de Shimura. Nous concluons en vérifiant toutes ces hypothèses arithmétiques à l'exception d'une seule dans le cas d'un produit de courbes modulaires, en admettant la conjecture dite des grandes orbites de Galois. Il s'agit d'un travail en commun avec Christopher Daw. La seconde partie est consacrée à un résultat cohomologique en direction de la conjecture de Zilber-Pink. Étant donné un groupe algébrique semi-simple sur un corps de nombres F contenu dans ℝ, nous démontrons que deux sous-groupes algébriques semi-simples définis sur F sont conjugués sur F, si et seulement s'il le sont sur une extension réelle finie de F de degré majoré indépendamment des sous-groupes choisis. Il s'agit d'un travail en commun avec Mikhail Borovoi et Christopher Daw. La troisième partie étudie la distribution des variétés de Shimura compactes. On rappelle qu'une variété de Shimura S de dimension 1 est toujours compacte sauf si S est une courbe modulaire. Nous généralisons cette observation en définissant une fonction de hauteur dans l'espace des variétés de Shimura associée à un groupe réductif réel donné. Dans le cas des groupes unitaires, on prouve que la densité des variétés de Shimura non-compactes est nulle.

In this thesis, we study some arithmetic and geometric problems for Shimura varieties. This thesis consists of three parts. In the first part, we study some applications of model theory to number theory. In 2014, Pila and Tsimerman gave a proof of the Ax-Schanuel conjecture for the j-function and, with Mok, have recently announced a proof of its generalization to any (pure) Shimura variety. We refer to this generalization as the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture. In this article, we show that the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture can be used to reduce the Zilber-Pink conjecture for Shimura varieties to a problem of point counting. We further show that this point counting problem can be tackled in a number of cases using the Pila-Wilkie counting theorem and several arithmetic conjectures. Our methods are inspired by previous applications of the Pila-Zannier method and, in particular, the recent proof by Habegger and Pila of the Zilber-Pink conjecture for curves in abelian…

Advisors/Committee Members: Ullmo, Emmanuel (thesis director).

Subjects/Keywords: Variété de Shimura; O-Minimalité; Géométrie diophantienne; Cohomologie galoisienne; Groupe dual; Application de Kottwitz; Shimura variety; O-Minimality; Diophantine geometry; Galois cohomology; Dual group; Kottwitz map

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APA (6th Edition):

Ren, J. (2018). Autour de la conjecture de Zilber-Pink pour les Variétés de Shimura : Around the Zilber-Pink Conjecture for Shimura Varieties. (Doctoral Dissertation). Paris Saclay. Retrieved from http://www.theses.fr/2018SACLS208

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Ren, Jinbo. “Autour de la conjecture de Zilber-Pink pour les Variétés de Shimura : Around the Zilber-Pink Conjecture for Shimura Varieties.” 2018. Doctoral Dissertation, Paris Saclay. Accessed October 13, 2019. http://www.theses.fr/2018SACLS208.

MLA Handbook (7th Edition):

Ren, Jinbo. “Autour de la conjecture de Zilber-Pink pour les Variétés de Shimura : Around the Zilber-Pink Conjecture for Shimura Varieties.” 2018. Web. 13 Oct 2019.

Vancouver:

Ren J. Autour de la conjecture de Zilber-Pink pour les Variétés de Shimura : Around the Zilber-Pink Conjecture for Shimura Varieties. [Internet] [Doctoral dissertation]. Paris Saclay; 2018. [cited 2019 Oct 13]. Available from: http://www.theses.fr/2018SACLS208.

Council of Science Editors:

Ren J. Autour de la conjecture de Zilber-Pink pour les Variétés de Shimura : Around the Zilber-Pink Conjecture for Shimura Varieties. [Doctoral Dissertation]. Paris Saclay; 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018SACLS208

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