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1. Randazzo, Lucas. Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins : Bijective combinatorics on trees and walks.

Degree: Docteur es, Informatique, 2019, Université Paris-Est

Cette thèse située dans le cadre de la combinatoire bijective a pour sujet plusieurs familles d'arbres et de chemins, objets classiques de la combinatoire, et tente de les mettre en relation par la construction de bijections. Dans un premier temps, motivé par des travaux récents, on s'intéresse aux chemins de basketball, dont la fonction génératrice vérifie une relation non triviale avec les nombres de Catalan. La preuve originale provenant de la méthode du noyau, notre objectif est d'étudier la décomposition de ce chemin pour obtenir une preuve bijective de cette formule. On trouve de plus que cette classe de chemins est en bijection avec les arbres unaires-binaires croissants dont la permutation associée évite 213.Ensuite on s'intéresse à une formule d'énumération de chemins de Dyck pondérés. Corolaire de l'application d'une formule des équerres généralisée sur les tableaux de Young gauche, on montre que cette formule peut être interprétée comme une fraction continue grâce à la théorie de Flajolet. On s'intéresse aussi à une généralisation à 4 variables des polynômes de Ramanujan, et leur lien avec certaines familles d'arbres. Tout comme Guo et Zeng l'on fait précédemment avec les arbres planaires et les arbres à moitié mobiles, on interprète ces polynômes comme des fonctions génératrices des arbres de Greg et des arbres de Cayley, en construisant plusieurs bijections les mettant toutes en relation. Enfin, on s'intéresse à un ensemble partiellement ordonné de fonctions de parking à bulles. En s'intéressant à une représentation arborescente des fonctions de parking, on obtient plusieurs résultats sur la topologie de cet ensemble, notamment des résultats d'épluchabilité et d'énumération de chaînes

This thesis in bijective combinatorics focuses on the classical combinatorics classes that are trees and walks, and attempts to build bijections around them. Motivated by recent works, we first work on basketball walks, which generating function verifies a non-trivial relation involving the Catalan numbers. Since the original proof was using the kernel method to find this result, our objective is to study the decomposition of these walks to bijectively prove this formula. Moreover, we manage to find that these walks are in bijection with increasing unary-binary trees which permutation avoids the pattern 213.Then we look at an enumerating formula for some weighted Dyck paths. Corollary to a generalised hook-length formula for skew Young tableaux, we use Flajolet's work to study this result with continued fractions. Following that, we look at a 4 variables generalization of the Ramanujan polynomials, and their link to different families of trees. As Guo and Zeng did with planar trees and half mobile trees, we interpret these polynomials as generating functions for Greg trees and Cayley trees, whilst building multiple bijections linking them all together. Finally, we look at a partially ordered set of bubbling parking functions. This tree structure representing parking functions allows us to prove multiple…

Advisors/Committee Members: Thibon, Jean-Yves (thesis director).

Subjects/Keywords: Combinatoire; Bijections; Arbres; Chemins; Fractions continues; Polynômes; Combinatorics; Bijections; Trees; Walks; Continued fractions; Polynomials

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APA (6th Edition):

Randazzo, L. (2019). Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins : Bijective combinatorics on trees and walks. (Doctoral Dissertation). Université Paris-Est. Retrieved from http://www.theses.fr/2019PESC2059

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Randazzo, Lucas. “Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins : Bijective combinatorics on trees and walks.” 2019. Doctoral Dissertation, Université Paris-Est. Accessed July 09, 2020. http://www.theses.fr/2019PESC2059.

MLA Handbook (7th Edition):

Randazzo, Lucas. “Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins : Bijective combinatorics on trees and walks.” 2019. Web. 09 Jul 2020.

Vancouver:

Randazzo L. Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins : Bijective combinatorics on trees and walks. [Internet] [Doctoral dissertation]. Université Paris-Est; 2019. [cited 2020 Jul 09]. Available from: http://www.theses.fr/2019PESC2059.

Council of Science Editors:

Randazzo L. Combinatoire bijective autour d'arbres et de chemins : Bijective combinatorics on trees and walks. [Doctoral Dissertation]. Université Paris-Est; 2019. Available from: http://www.theses.fr/2019PESC2059

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