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1. Havet, Antoine. Estimation de la loi du milieu d'une marche aléatoire en milieu aléatoire : Estimation of the environment distribution of a random walk in random environment.

Degree: Docteur es, Mathématiques appliquées, 2019, Paris Saclay

Introduit dans les années 1960, le modèle de la marche aléatoire en milieu aléatoire i.i.d. sur les entiers relatifs (ou MAMA) a récemment été l'objet d'un regain d'intérêt dans la communauté statistique.Divers travaux se sont en particulier intéressés à la question de l'estimation de la loi du milieu à partir de l'observation d'une unique trajectoire de la MAMA.Cette thèse s'inscrit dans cette dynamique.Dans un premier temps, nous considérons le problème d'estimation d'un point de vue fréquentiste. Lorsque la MAMA est transiente à droite ou récurrente, nous construisons le premier estimateur non paramétrique de la densité de la loi du milieu et obtenons une majoration du risque associé mesuré en norme infinie.Dans un deuxième temps, nous envisageons le problème d'estimation sous un angle Bayésien. Lorsque la MAMA est transiente à droite, nous démontrons la consistance à posteriori de l'estimateur Bayésien de la loi du milieu.La principale difficulté mathématique de la thèse a été l'élaboration des outils nécessaires à la preuve du résultat de consistance bayésienne.Nous démontrons pour cela une version quantitative de l'inégalité de concentration de type Mac Diarmid pour chaînes de Markov.Nous étudions également le temps de retour en 0 d'un processus de branchement en milieu aléatoire avec immigration. Nous montrons l'existence d'un moment exponentiel fini uniformément valable sur une classe de processus de branchement en milieu aléatoire. Le processus de branchement en milieu aléatoire constituant une chaîne de Markov, ce résultat permet alors d'expliciter la dépendance des constantes de l'inégalité de concentration en fonction des caractéristiques de ce processus.

Introduced in the 1960s, the model of random walk in i.i.d. environment on integers (or RWRE) raised only recently interest in the statistical community. Various works have in particular focused on the estimation of the environment distribution from a single trajectory of the RWRE.This thesis extends the advances made in those works and offers new approaches to the problem.First, we consider the estimation problem from a frequentist point of view. When the RWRE is transient to the right or recurrent, we build the first non-parametric estimator of the density of the environment distribution and obtain an upper-bound of the associated risk in infinite norm.Then, we consider the estimation problem from a Bayesian perspective. When the RWRE is transient to the right, we prove the posterior consistency of the Bayesian estimator of the environment distribution.The main difficulty of the thesis was to develop the tools necessary to the proof of Bayesian consistency.For this purpose, we demonstrate a quantitative version of a Mac Diarmid's type concentration inequality for Markov chains.We also study the return time to 0 of a branching process with immigration in random environment (or BPIRE). We show the existence of a finite exponential moment uniformly valid on a class of BPIRE. The BPIRE being a Markov chain, this result enables then to make explicit the…

Advisors/Committee Members: Moulines, Éric (thesis director).

Subjects/Keywords: Milieu aléatoire; Chaînes de Markov; Statistiques bayésiennes; Estimation non-Paramétrique de loi; Concentration de mesure pour les chaînes de Markov; Problème inverse non-Linéaire; Random environment; Markov chains; Bayesian statistics; Non-Parametric estimation; Concentration for Markov chains; Non-Linear inverse problems; 519.5

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APA (6th Edition):

Havet, A. (2019). Estimation de la loi du milieu d'une marche aléatoire en milieu aléatoire : Estimation of the environment distribution of a random walk in random environment. (Doctoral Dissertation). Paris Saclay. Retrieved from http://www.theses.fr/2019SACLX033

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Havet, Antoine. “Estimation de la loi du milieu d'une marche aléatoire en milieu aléatoire : Estimation of the environment distribution of a random walk in random environment.” 2019. Doctoral Dissertation, Paris Saclay. Accessed September 19, 2019. http://www.theses.fr/2019SACLX033.

MLA Handbook (7th Edition):

Havet, Antoine. “Estimation de la loi du milieu d'une marche aléatoire en milieu aléatoire : Estimation of the environment distribution of a random walk in random environment.” 2019. Web. 19 Sep 2019.

Vancouver:

Havet A. Estimation de la loi du milieu d'une marche aléatoire en milieu aléatoire : Estimation of the environment distribution of a random walk in random environment. [Internet] [Doctoral dissertation]. Paris Saclay; 2019. [cited 2019 Sep 19]. Available from: http://www.theses.fr/2019SACLX033.

Council of Science Editors:

Havet A. Estimation de la loi du milieu d'une marche aléatoire en milieu aléatoire : Estimation of the environment distribution of a random walk in random environment. [Doctoral Dissertation]. Paris Saclay; 2019. Available from: http://www.theses.fr/2019SACLX033

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