In the thesis is studied the limit distribution of partial sums of certain linear time series models with nonstationary long memory and certain statistics which involve partial sums processes. Philippe, Surgailis, Viano (2006, 2008) introduced time-varying fractionally integrated filters and studied the limit distribution of partial sums processes of these filters under finite variance set-up. In the thesis is studied the limit distribution of partial sums processes of infinite variance time-varying fractionally integrated filters. We assume that the innovations belong to the domain of attraction of an α-stable law (1<α<2) and show that the partial sums process converges to some α-stable self-similar process. In the thesis is studied the limit of the Increment Ratio (IR) statistic for Gaussian observations superimposed on a slowly varying deterministic trend. The IR statistic was introduced in Surgailis, Teyssière, Vaičiulis (2008) and its limit distribution was studied under the assumption of stationarity of observations. The IR statistic can be used for testing nonparametric hypotheses about d-integrated (-1/2 < d <3/2) behavior of the time series, which can be confused with deterministic trends and change-points. This statistic is written in terms of partial sums process and its limit is closely related to the limit of partial sums. In particularly, the consistency of the IR statistic uses asymptotic independence of distant partial sums, the fact is established in the... [to full text]

Disertacijoje ištirti trupmeniškai integruotų tiesinių laiko eilučių modelių su nestacionaria ilgąja atmintimi dalinių sumų ribiniai skirstiniai ir tam tikros statistikos, susijusios su dalinių sumų procesais. Philippe, Surgailis, Viano 2006 ir 2008 m. darbuose apibrėžė kintančius laike trupmeniškai integruotus filtrus su baigtine dispersija ir nagrinėjo jų dalinių sumų ribinius skirstinius. Disertacijoje ištirti tokių procesų dalinių sumų ribiniai skirstiniai, kai dispersija begalinė, laikant, kad inovacijos priklauso α–stabilaus dėsnio traukos sričiai (čia 1<α<2). Įrodyta, kad dalinių sumų procesas konverguoja į tam tikrą α–stabilų savastingąjį procesą su nestacionariais pokyčiais. Surgailis, Teyssière, Vaičiulis 2008 m. darbe įvedė pokyčių santykių arba IR (= Increment Ratio) statistiką ir parodė, kad IR statistika gali būti naudojama tikrinti neparametrinėms hipotezėms apie stacionariosios laiko eilutės ilgąją atmintį bei ilgosios atminties parametrą d. Disertacijoje apibendrinti šių autorių gauti rezultatai, t. y. įrodyta IR statistikos centrinė ribinė teorema ir gauti poslinkio įverčiai, kai stebiniai aprašomi tiesiniu laiko eilutės modeliu su trendu. Praplėsta laiko eilučių klasė, kuriai IR statistika yra pagrįsta, t. y. konverguoja į vidurkį.

The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

Aggregated data appears in many areas such as econimics, sociology, geography, etc. This motivates an importance of studying the (dis)aggregation problem. One of the most important reasons why the contemporaneous aggregation become an object of research is the possibility of obtaining the long memory phenomena in processes. The aggregation provides an explanation of the long-memory effect in time series and a simulation method of such series as well. Accumulation of short-memory non-ergodic random processes can lead to the long memory ergodic process, that can be used for the forecasts of the macro and micro variables. We explore the aggregation scheme of AR(1) processes and nearest-neighbour random fields with infinite variance. We provide results on the existence of limit aggregated processes, and find conditions under which it has long memory properties in certain sense. For the random fields on Z², we introduce the notion of (an)isotropic long memory based on the behavior of partial sums. In L₂ case, the known aggregation of independent AR(1) processes leads to the Gaussian limit. While we describe a new model of aggregation based on independent triangular arrays. This scheme gives the limit aggregated process with finite variance which is not necessary Gaussian. We study a discrete time risk insurance model with stationary claims, modeled by the aggregated heavy-tailed process. We establish the asymptotic properties of the ruin probability and the dependence structure... [to full text]

Agreguoti duomenys naudojami daugelyje mokslo sričių tokių kaip ekonomika, sociologija, geografija ir kt. Tai motyvuoja tirti (de)agregavimo uždavinį. Viena iš pagrindinių priežasčių kodėl vienalaikis agregavimas tapo tyrimų objektu yra galimybė gauti ilgos atminties procesus. Agregavimas paaiškina ilgos atminties atsiradima procesuose ir yra vienas iš būdų tokius procesus generuoti. Agreguodami trumpos atminties neergodiškus atsitiktinius procesus, galime gauti ilgos atminties ergodišką procesą, kuris gali būti naudojamas mikro ir makro kintamųjų prognozavimui. Disertacijoje nagrinėjama AR(1) procesų bei artimiausio kaimyno atsitiktinių laukų, turinčių begalinę dispersiją, agregavimo schema, randamos sąlygos, kurioms esant ribinis agreguotas procesas egzistuoja, ir turi ilgąją atmintį tam tikra prasme. Atsitiktinių laukų atveju, įvedamas anizotropinės/izotropinės ilgos atminties apibrėžimas, kuris yra paremtas dalinių sumų elgesiu. Baigtinės dispersijos atveju yra gerai žinoma nepriklausomų AR(1) procesų schema, kuri rezultate duoda Gauso ribinį agreguotą procesą. Disertacijoje aprašoma trikampio masyvo agregavimo modelis, kuris baigtinės dispersijos atveju duoda nebūtinai Gauso ribinį agreguotą procesą. Taip pat disertacijoje nagrinėjama bankroto tikimybės asimptotika, kai žalos yra aprašomos sunkiauodegiu agreguotu procesu, nusakoma priklausomybė tarp žalų, apibūdinama žalų ilga atmintis.

In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed.

Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 2) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas.