In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed.

Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 2) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas.

Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 1) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas.

In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed.

The doctoral dissertation deals with mathematical problems related to various heights of polynomials. The height of a polynomial, in the most general sense, is a quantity by which we measure the complexity of the polynomial P. There are several different types of heights: the naive height H(P), the length L(P), the Euclidean norm ||P||, the Mahler measure M(P) or the integral norms ||P||s. The doctoral dissertation is devoted to study algebraic, analytical and number theoretical properties of polynomials which depend on heights. We consider the height reduction problem for polynomials in R[x] and maxima of polynomials with restricted coefficients on the unit circle. The properties of algebraic numbers whose minimal polynomials have small integer coefficients {-1, 0, 1} are investigated with a special attention to Newman and Littlewood polynomials. We explore the arithmetic and geometric properties of algebraic numbers which are roots of trinomial or quadrinomial equations in connection with the intersection problem of the geometric and arithmetic progressions of real numbers. The reducibility problem of Walsh is solved. The problem of construction of number systems in the rings Z[α] is studied for expanding algebraic integers α, together with metric versions of Mahler measures. We prove inequalities for the Mahler measures and Ls norms of the derivatives of self – inversive polynomials. Polynomials which are related to Barker sequences are investigated. A composition equation... [to full text]

Disertacijoje yra sprendžiami matematiniai uždaviniai susiję su polinomų (algebrinių daugianarių) aukščiais. Nagrinėjami vieno kintamojo polinomai su realiais ir kompleksiniais koeficientais. Polinomo aukštis, bendriausia prasme, yra dydis kuriuo matuojame polinomo sudėtingumą. Yra keletas plačiai naudojamų polinomų aukščių: naivusis aukštis H(P), polinomo ilgis L(P), Euklidinė norma ||P||, Malerio matas M(P) bei integralinės normas ||P||s. Polinomų aukščiai yra labai svarbūs šiuolaikinėje skaičių teorijoje, ypač diofantinėje analizėje bei įvairiose matematinės analizės šakose: aproksimavimo teorijoje erdvėse Ls ir C, Fourier analizėje, funkcinėje analizėje, ir kitur. Polinomų aukščiai turi praktinių taikymų signalų apdorojimo teorijoje, kur jie yra naudojami matuojant signalo energiją. Disertacijos mokslinių tyrimų problema: kaip daugianarių aukščiai įtakoja daugianarių savybes  – daugianarių dalumą, realiųjų daugianarių ir sveikųjų daugianarių žieduose R[x] ir Z[x], redukuojamumą, daugianarių ekstremalias reikšmes. Disertacijoje tiriamos algebrinių skaičių aritmetinės savybės, kurios priklauso nuo tų skaičių minimalių polinomų aukščių. Nagrinėjama daugianarių su mažais koeficientais {-1, 0, 1} kompleksinių šaknų aibė. Konstruojamos skaičiavimo sistemos algebrinių skaičių žieduose bei tiriami metriniai Malerio matai. Įrodomos nelygybės daugianarių ir jų išvestinių Malerio matams bei jų normoms erdvėje Ls. Nagrinėjami daugianariai, susiję su Barkerio sekomis bei sprendžiama... [toliau žr. visą tekstą]

Jono Jankausko disertacijos "Polinomų aukščiai" matematikos Disertacijoje yra sprendžiami matematiniai uždaviniai susiję su polinomų (algebrinių daugianarių) aukščiais. Nagrinėjami vieno kintamojo polinomai su realiais ir kompleksiniais koeficientais. Polinomo aukštis, bendriausia prasme, yra dydis kuriuo matuojame polinomo sudėtingumą. Yra keletas plačiai naudojamų polinomų aukščių: naivusis aukštis H(P), polinomo ilgis L(P), Euklidinė norma ||P||, Malerio matas M(P) bei integralinės normas ||P||s. Polinomų aukščiai yra labai svarbūs šiuolaikinėje skaičių teorijoje, ypač diofantinėje analizėje bei įvairiose matematinės analizės šakose: aproksimavimo teorijoje erdvėse Ls ir C, Fourier analizėje, funkcinėje analizėje, ir kitur. Polinomų aukščiai turi praktinių taikymų signalų apdorojimo teorijoje, kur jie yra naudojami matuojant signalo energiją. Disertacijos mokslinių tyrimų problema: kaip daugianarių aukščiai įtakoja daugianarių savybes  – daugianarių dalumą, realiųjų daugianarių ir sveikųjų daugianarių žieduose R[x] ir Z[x], redukuojamumą, daugianarių ekstremalias reikšmes. Disertacijoje tiriamos algebrinių skaičių aritmetinės savybės, kurios priklauso nuo tų skaičių minimalių polinomų aukščių. Nagrinėjama daugianarių su mažais koeficientais {-1, 0, 1} kompleksinių šaknų aibė. Konstruojamos skaičiavimo sistemos algebrinių skaičių žieduose bei tiriami metriniai Malerio matai. Įrodomos nelygybės daugianarių ir jų išvestinių Malerio matams bei jų normoms erdvėje Ls.... [toliau žr. visą tekstą]

The doctoral dissertation deals with mathematical problems related to various heights of polynomials. The height of a polynomial, in the most general sense, is a quantity by which we measure the complexity of the polynomial P. There are several different types of heights: the naive height H(P), the length L(P), the Euclidean norm ||P||, the Mahler measure M(P) or the integral norms ||P||s. The doctoral dissertation is devoted to study algebraic, analytical and number theoretical properties of polynomials which depend on heights. We consider the height reduction problem for polynomials in R[x] and maxima of polynomials with restricted coefficients on the unit circle. The properties of algebraic numbers whose minimal polynomials have small integer coefficients {-1, 0, 1} are investigated with a special attention to Newman and Littlewood polynomials. We explore the arithmetic and geometric properties of algebraic numbers which are roots of trinomial or quadrinomial equations in connection with the intersection problem of the geometric and arithmetic progressions of real numbers. The reducibility problem of Walsh is solved. The problem of construction of number systems in the rings Z[α] is studied for expanding algebraic integers α, together with metric versions of Mahler measures. We prove inequalities for the Mahler measures and Ls norms of the derivatives of self – inversive polynomials. Polynomials which are related to Barker sequences are investigated. A composition equation... [to full text]

Daktaro disertacijoje sprendžiami trys uždaviniai. Pirmasis nagrinėja Minkovskio “klaustuko” funkcijos Stieltjes’o transformacijos (tai yra, šios funkcijos momentų generuojančios funkcijos, taip vadinamosios diadinės periodo funkcijos), analizines savybes ir jos išraišką uždara ar beveik uždara forma. Pagrindinis rezultatas teigia, kad diadinę periodo funkciją galima išreikšti racionaliųjų funkcijų su racionaliaisiais koeficientais konverguojančia eilute. Įrodyme naudojama kompleksinės dinamikos, analizinės grandininių trupmenų teorijos, kelių kompleksinių kintamųjų funkcijų teorijos technika. Antrasis uždavinys nagrinėja funkcines lygtis, susietas su norminėmis ir kitomis kelių kintamųjų formomis. Yra parodoma, kad šios funkcinės lygtys kartais turi kitų, netrivialiųjų sprendinių. Galiausiai, yra pateikiamas naujas mažosios Fermat teoremos įrodymas.

Doctoral thesis is devoted to investigation of three problems. The first one deals with the analytic properties and representation in closed or almost closed form of the Stieltjes tranform of the Minkowski question mark function (that is, the generating function of moments, the so called dyadic period function). The main result claims that the dyadic period function can be represented as a convergent series of rational functions with rational coefficients. In the proof the techniques from complex dynamics, analytic theory of continued fractions, the theory of several complex variables are being used. The second problem is dealing with functional equations associated with norm and other forms. It is shown that these functional equations sometimes have other solutions apart from the trivial ones. Finally, we present a new proof of Fermat’s little theorem.

Doctoral thesis is devoted to investigation of three problems. The first one deals with the analytic properties and representation in closed or almost closed form of the Stieltjes tranform of the Minkowski question mark function (that is, the generating function of moments, the so called dyadic period function). The main result claims that the dyadic period function can be represented as a convergent series of rational functions with rational coefficients. In the proof the techniques from complex dynamics, analytic theory of continued fractions, the theory of several complex variables are being used. The second problem is dealing with functional equations associated with norm and other forms. It is shown that these functional equations sometimes have other solutions apart from the trivial ones. Finally, we present a new proof of Fermat’s little theorem.

Daktaro disertacijoje sprendžiami trys uždaviniai. Pirmasis nagrinėja Minkovskio “klaustuko” funkcijos Stieltjes’o transformacijos (tai yra, šios funkcijos momentų generuojančios funkcijos, taip vadinamosios diadinės periodo funkcijos), analizines savybes ir jos išraišką uždara ar beveik uždara forma. Pagrindinis rezultatas teigia, kad diadinę periodo funkciją galima išreikšti racionaliųjų funkcijų su racionaliaisiais koeficientais konverguojančia eilute. Įrodyme naudojama kompleksinės dinamikos, analizinės grandininių trupmenų teorijos, kelių kompleksinių kintamųjų funkcijų teorijos technika. Antrasis uždavinys nagrinėja funkcines lygtis, susietas su norminėmis ir kitomis kelių kintamųjų formomis. Yra parodoma, kad šios funkcinės lygtys kartais turi kitų, netrivialiųjų sprendinių. Galiausiai, yra pateikiamas naujas mažosios Fermat teoremos įrodymas.

Limit theorems in the sense of weak convergence of probability measures for the Lerch zeta-function with algebraic irrational parameter are obtained. A theorem of mentioned type on the complex plane, a joint limit theorem for a collection of Lerch zeta-functions on the complex plane as well as a limit theorem in the space of analytic functions are proved. The theorems obtained characterize the asymptotic behaviour of the Lerch zeta-function and can be applied in the investigation of the universality of that function.

Yra gautos Lercho dzeta funkcijos su algebriniu iracionaliuoju parametru ribinės teoremos silpno tikimybinių matų konvergavimo prasme. Yra įrodyta minėto tipo teorema kompleksinėje plokštumoje, jungtinė ribinė teorema Lercho dzeta funkcijų rinkiniui kompleksinėje plokštumoje ir teorema analizinių funkcijų erdvėje. Įrodytos teoremos charakterizuoja Lercho dzeta funkcijų asimptotinį elgesį ir gali būti taikomos šios funkcijos universalumui tirti.

Yra gautos Lercho dzeta funkcijos su algebriniu iracionaliuoju parametru ribinės teoremos silpno tikimybinių matų konvergavimo prasme. Yra įrodyta minėto tipo teorema kompleksinėje plokštumoje, jungtinė ribinė teorema Lercho dzeta funkcijų rinkiniui kompleksinėje plokštumoje ir teorema analizinių funkcijų erdvėje. Įrodytos teoremos charakterizuoja Lercho dzeta funkcijų asimptotinį elgesį ir gali būti taikomos šios funkcijos universalumui tirti.

Limit theorems in the sense of weak convergence of probability measures for the Lerch zeta-function with algebraic irrational parameter are obtained. A theorem of mentioned type on the complex plane, a joint limit theorem for a collection of Lerch zeta-functions on the complex plane as well as a limit theorem in the space of analytic functions are proved. The theorems obtained characterize the asymptotic behaviour of the Lerch zeta-function and can be applied in the investigation of the universality of that function.

Daktaro disertacijos tyrimo objektai yra rezervuotos sistemos ir degradaciniai modeliai. Norint užtikrinti svarbių sistemos elementų aukštą patikimumą, naudojami jų rezerviniai elementai, kurie gali būti įjungiami sugedus šiems pagrindiniams elementams. Rezerviniai elementai gali funkcionuoti skirtinguose režimuose: „karštame“, „šaltame“ arba „šiltame“. Disertacijoje yra nagrinėjamos sistemos su „šiltai“ rezervuotais elementais. Darbe suformuluojama rezervinio elemento „sklandaus įjungimo“ hipotezė ir konstruojami statistiniai kriterijai šiai hipotezei tikrinti. Nagrinėjami neparametrinio ir parametrinio taškinio bei intervalinio vertinimo uždaviniai. Disertacijoje nagrinėjami pakankamai bendri degradacijos modeliai, kurie aprašo elementų gedimų intensyvumą kaip funkciją kiek naudojamų apkrovų, tiek ir degradacijos lygio, kuri savo ruožtu modeliuojama naudojant stochastinius procesus.

In doctoral thesis redundant systems and degradation models are considered. To ensure high reliability of important elements of the system, the stand-by units can be used. These units are commuted and operate instead of the main failed unit. The stand-by units can function in the different conditions: “hot”, “cold” or “warm” reserving. In the thesis systems with “warm” stand-by units are analyzed. Hypotheses of smooth commuting are formulated and goodness-of-fit tests for these hypotheses are constructed. Nonparametric and parametric point and interval estimation procedures are given. Modeling and statistical estimation of reliability of systems from failure time and degradation data are considered.

In doctoral thesis redundant systems and degradation models are considered. To ensure high reliability of important elements of the system, the stand-by units can be used. These units are commuted and operate instead of the main failed unit. The stand-by units can function in the different conditions: “hot”, “cold” or “warm” reserving. In the thesis systems with “warm” stand-by units are analyzed. Hypotheses of smooth commuting are formulated and goodness-of-fit tests for these hypotheses are constructed. Nonparametric and parametric point and interval estimation procedures are given. Modeling and statistical estimation of reliability of systems from failure time and degradation data are considered.

Daktaro disertacijos tyrimo objektai yra rezervuotos sistemos ir degradaciniai modeliai. Norint užtikrinti svarbių sistemos elementų aukštą patikimumą, naudojami jų rezerviniai elementai, kurie gali būti įjungiami sugedus šiems pagrindiniams elementams. Rezerviniai elementai gali funkcionuoti skirtinguose režimuose: „karštame“, „šaltame“ arba „šiltame“. Disertacijoje yra nagrinėjamos sistemos su „šiltai“ rezervuotais elementais. Darbe suformuluojama rezervinio elemento „sklandaus įjungimo“ hipotezė ir konstruojami statistiniai kriterijai šiai hipotezei tikrinti. Nagrinėjami neparametrinio ir parametrinio taškinio bei intervalinio vertinimo uždaviniai. Disertacijoje nagrinėjami pakankamai bendri degradacijos modeliai, kurie aprašo elementų gedimų intensyvumą kaip funkciją kiek naudojamų apkrovų, tiek ir degradacijos lygio, kuri savo ruožtu modeliuojama naudojant stochastinius procesus.