We study some Hölderian functional central limit theorems for the polygonal partial sum processes built on a first order nearly nonstationary autoregressive process and its least squares residuals Innovations are i.i.d. centered and at least square-integrable innovations. Two types of models are considered. For the first type model we prove that the limiting process depends on Ornstein – Uhlenbeck one. In the second type model, the convergence to Brownian motion is established in Hölder space in terms of the rate of coefficient and the integrability of the residuals. We also investigate some epidemic change in the innovations of the first order nearly nonstationary autoregressive process . We build the alpha-Hölderian uniform increments statistics based on the observations and on the least squares residuals to detect the short epidemic change in the process under consideration. Under the assumptions for innovations we find the limit of the statistics under null hypothesis, some conditions of consistency and we perform a test power analysis.

Disertacijoje nagrinėjami dalinių sumų laužčių procesai sudaryti iš pirmos eilės beveik nestacionaraus proceso bei jo mažiausių kvadratų liekanų. Inovacijos yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę ir bent kvadratu integruojami atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu. Įrodomos funkcinės ribinės teoremos šiems laužčių procesams Hiolderio erdvėje. Nagrinėjami du beveik nestacionaraus proceso atvejai. Vienu atveju įrodoma, kad ribinis procesas priklauso nuo Ornsteino–Uhlenbecko proceso. Kitu atveju, įrodomas konvergavimas į Brauno judesį Hiolderio erdvėje, atsižvelgiant į koeficiento divergavimo greitį bei inovacijų integruojamumą. Toliau nagrinėjamas epideminio pasikeitimo modelis beveik nestacionaraus pirmos eilės autoregresinio proceso inovacijoms. Nagrinėjami du modeliai. Iš stebėjimų bei liekanų konstruojama tolydžiųjų prieaugių alpha-Hiolderio statistika. Remiantis prielaidomis inovacijoms, randama statistikos ribinis procesas prie nulinės hipotezės, suderinamumo sąlygos, atliekama galios analizė.

Disertacijoje nagrinėjami dalinių sumų laužčių procesai sudaryti iš pirmos eilės beveik nestacionaraus proceso bei jo mažiausių kvadratų liekanų. Inovacijos yra nepriklausomi, vienodai pasiskirstę ir bent kvadratu integruojami atsitiktiniai dydžiai su nuliniu vidurkiu. Įrodomos funkcinės ribinės teoremos šiems laužčių procesams Hiolderio erdvėje. Nagrinėjami du beveik nestacionaraus proceso atvejai. Vienu atveju įrodoma, kad ribinis procesas priklauso nuo Ornsteino–Uhlenbecko proceso. Kitu atveju, įrodomas konvergavimas į Brauno judesį Hiolderio erdvėje, atsižvelgiant į koeficiento divergavimo greitį bei inovacijų integruojamumą. Toliau nagrinėjamas epideminio pasikeitimo modelis beveik nestacionaraus pirmos eilės autoregresinio proceso inovacijoms. Nagrinėjami du modeliai. Iš stebėjimų bei liekanų konstruojama tolydžiųjų prieaugių alpha-Hiolderio statistika. Remiantis prielaidomis inovacijoms, randama statistikos ribinis procesas prie nulinės hipotezės, suderinamumo sąlygos, atliekama galios analizė.

We study some Hölderian functional central limit theorems for the polygonal partial sum processes built on a first order nearly nonstationary autoregressive process and its least squares residuals Innovations are i.i.d. centered and at least square-integrable innovations. Two types of models are considered. For the first type model we prove that the limiting process depends on Ornstein – Uhlenbeck one. In the second type model, the convergence to Brownian motion is established in Hölder space in terms of the rate of coefficient and the integrability of the residuals. We also investigate some epidemic change in the innovations of the first order nearly nonstationary autoregressive process . We build the alpha-Hölderian uniform increments statistics based on the observations and on the least squares residuals to detect the short epidemic change in the process under consideration. Under the assumptions for innovations we find the limit of the statistics under null hypothesis, some conditions of consistency and we perform a test power analysis.

Disertacijoje ištirti trupmeniškai integruotų tiesinių laiko eilučių modelių su nestacionaria ilgąja atmintimi dalinių sumų ribiniai skirstiniai ir tam tikros statistikos, susijusios su dalinių sumų procesais. Philippe, Surgailis, Viano 2006 ir 2008 m. darbuose apibrėžė kintančius laike trupmeniškai integruotus filtrus su baigtine dispersija ir nagrinėjo jų dalinių sumų ribinius skirstinius. Disertacijoje ištirti tokių procesų dalinių sumų ribiniai skirstiniai, kai dispersija begalinė, laikant, kad inovacijos priklauso α–stabilaus dėsnio traukos sričiai (čia 1<α<2). Įrodyta, kad dalinių sumų procesas konverguoja į tam tikrą α–stabilų savastingąjį procesą su nestacionariais pokyčiais. Surgailis, Teyssière, Vaičiulis 2008 m. darbe įvedė pokyčių santykių arba IR (= Increment Ratio) statistiką ir parodė, kad IR statistika gali būti naudojama tikrinti neparametrinėms hipotezėms apie stacionariosios laiko eilutės ilgąją atmintį bei ilgosios atminties parametrą d. Disertacijoje apibendrinti šių autorių gauti rezultatai, t. y. įrodyta IR statistikos centrinė ribinė teorema ir gauti poslinkio įverčiai, kai stebiniai aprašomi tiesiniu laiko eilutės modeliu su trendu. Praplėsta laiko eilučių klasė, kuriai IR statistika yra pagrįsta, t. y. konverguoja į vidurkį.

In the thesis is studied the limit distribution of partial sums of certain linear time series models with nonstationary long memory and certain statistics which involve partial sums processes. Philippe, Surgailis, Viano (2006, 2008) introduced time-varying fractionally integrated filters and studied the limit distribution of partial sums processes of these filters under finite variance set-up. In the thesis is studied the limit distribution of partial sums processes of infinite variance time-varying fractionally integrated filters. We assume that the innovations belong to the domain of attraction of an α-stable law (1<α<2) and show that the partial sums process converges to some α-stable self-similar process. In the thesis is studied the limit of the Increment Ratio (IR) statistic for Gaussian observations superimposed on a slowly varying deterministic trend. The IR statistic was introduced in Surgailis, Teyssière, Vaičiulis (2008) and its limit distribution was studied under the assumption of stationarity of observations. The IR statistic can be used for testing nonparametric hypotheses about d-integrated (-1/2 < d <3/2) behavior of the time series, which can be confused with deterministic trends and change-points. This statistic is written in terms of partial sums process and its limit is closely related to the limit of partial sums. In particularly, the consistency of the IR statistic uses asymptotic independence of distant partial sums, the fact is established in the... [to full text]

In the thesis is studied the limit distribution of partial sums of certain linear time series models with nonstationary long memory and certain statistics which involve partial sums processes. Philippe, Surgailis, Viano (2006, 2008) introduced time-varying fractionally integrated filters and studied the limit distribution of partial sums processes of these filters under finite variance set-up. In the thesis is studied the limit distribution of partial sums processes of infinite variance time-varying fractionally integrated filters. We assume that the innovations belong to the domain of attraction of an α-stable law (1<α<2) and show that the partial sums process converges to some α-stable self-similar process. In the thesis is studied the limit of the Increment Ratio (IR) statistic for Gaussian observations superimposed on a slowly varying deterministic trend. The IR statistic was introduced in Surgailis, Teyssière, Vaičiulis (2008) and its limit distribution was studied under the assumption of stationarity of observations. The IR statistic can be used for testing nonparametric hypotheses about d-integrated (-1/2 < d <3/2) behavior of the time series, which can be confused with deterministic trends and change-points. This statistic is written in terms of partial sums process and its limit is closely related to the limit of partial sums. In particularly, the consistency of the IR statistic uses asymptotic independence of distant partial sums, the fact is established in the... [to full text]

Disertacijoje ištirti trupmeniškai integruotų tiesinių laiko eilučių modelių su nestacionaria ilgąja atmintimi dalinių sumų ribiniai skirstiniai ir tam tikros statistikos, susijusios su dalinių sumų procesais. Philippe, Surgailis, Viano 2006 ir 2008 m. darbuose apibrėžė kintančius laike trupmeniškai integruotus filtrus su baigtine dispersija ir nagrinėjo jų dalinių sumų ribinius skirstinius. Disertacijoje ištirti tokių procesų dalinių sumų ribiniai skirstiniai, kai dispersija begalinė, laikant, kad inovacijos priklauso α–stabilaus dėsnio traukos sričiai (čia 1<α<2). Įrodyta, kad dalinių sumų procesas konverguoja į tam tikrą α–stabilų savastingąjį procesą su nestacionariais pokyčiais. Surgailis, Teyssière, Vaičiulis 2008 m. darbe įvedė pokyčių santykių arba IR (= Increment Ratio) statistiką ir parodė, kad IR statistika gali būti naudojama tikrinti neparametrinėms hipotezėms apie stacionariosios laiko eilutės ilgąją atmintį bei ilgosios atminties parametrą d. Disertacijoje apibendrinti šių autorių gauti rezultatai, t. y. įrodyta IR statistikos centrinė ribinė teorema ir gauti poslinkio įverčiai, kai stebiniai aprašomi tiesiniu laiko eilutės modeliu su trendu. Praplėsta laiko eilučių klasė, kuriai IR statistika yra pagrįsta, t. y. konverguoja į vidurkį.

In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed.

Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 2) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas.

Disertacijoje tirta Markovo grandinių klasė, kurios iteracijos nusakomos atsitiktinėmis asimptotiškai homogeninėmis funkcijomis, ir išspręsti du uždaviniai: 1) surastos bendros sąlygos, kurios garantuoja vienintelio stacionaraus skirstinio egzistavimą; 1) vienmatėms grandinėms surastos sąlygos, kurioms esant stacionarus skirstinys turi "sunkias" uodegas.

In the dissertation there is investigated a class of Markov chains defined by iterations of a function possessing a property of asymptotical homogeneity. Two problems are solved: 1) there are established rather general conditions under which the chain has unique stationary distribution; 2) for the chains evolving in a real line there are established conditions under which the stationary distribution of the chain is heavy-tailed.