Baigiamajame magistro darbe sprendžiamas klasikinis uždavinys, kai tikimybinis skirstinys aproksimuojamas Gauso skirstiniu, panaudojus kelis žinomus metodus. Darbe skirstiniai iš GZD tikimybinių skirstinių klasės aproksimuojami Gauso tikimybiniais skirstiniais. Pritaikytas D. Alfers ir H. Dinges metodas apie beta skirstinio aproksimavimą normaliuoju skirstiniu darbe nagrinėjamiems GZD. Užrašyti neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių formalūs charakteristinių funkcijų bei tankių asimptotiniai skleidiniai panaudojant Apelio daugianarius. Gautos formulės bus naudingos matematinės statistikos specialistams ir ekonomistams, nagrinėjantiems finansuose iškilusias problemas.

In this paper are solved classical problem, i.e. there are used normal approximations employed few well-known methods. In this paper normal approximations are developed for Br. Grigelionis GZD distributions. We are shown what normal approximations used for beta distributions are applied for GZD distributions. In this paper we are applying D. Alfers ir H. Dinges statements about beta distributions asymptotical treatments. It is written down formal characteristic function and density for infinite divisible distributions asymptotical expansion used Apelis polynomial. The results will help to mathematical statistics specialists and cea who are researching problems in finance theory.

Baigiamajame magistro darbe sprendžiamas klasikinis uždavinys, kai tikimybinis skirstinys aproksimuojamas Gauso skirstiniu, panaudojus kelis žinomus metodus. Darbe skirstiniai iš GZD tikimybinių skirstinių klasės aproksimuojami Gauso tikimybiniais skirstiniais. Pritaikytas D. Alfers ir H. Dinges metodas apie beta skirstinio aproksimavimą normaliuoju skirstiniu darbe nagrinėjamiems GZD. Užrašyti neaprėžtai dalių tikimybinių skirstinių formalūs charakteristinių funkcijų bei tankių asimptotiniai skleidiniai panaudojant Apelio daugianarius. Gautos formulės bus naudingos matematinės statistikos specialistams ir ekonomistams, nagrinėjantiems finansuose iškilusias problemas.

In this paper are solved classical problem, i.e. there are used normal approximations employed few well-known methods. In this paper normal approximations are developed for Br. Grigelionis GZD distributions. We are shown what normal approximations used for beta distributions are applied for GZD distributions. In this paper we are applying D. Alfers ir H. Dinges statements about beta distributions asymptotical treatments. It is written down formal characteristic function and density for infinite divisible distributions asymptotical expansion used Apelis polynomial. The results will help to mathematical statistics specialists and cea who are researching problems in finance theory.

Aprašytas padangų nusidėvėjimo modelis, atsižvelgiant į natūralųjį nusidėvėjimą ir padangų traumatinius gedimus. Išnagrinėtos patikimumo charakteristikos: patikimumo funkcija ir k-tojo gedimo tipo tikimybės intervale [0;t], gautos šių statistikų įverčių H. Dinges tipo transformacijos. Sudaryta programa su SAS paketu, kuri generuoja padangų gedimo momentus ir apskaičiuoja patikimumo funkcijos ir k-tojo gedimo tipo tikimybės intervale [0;t] įverčius.

The work represent a tire exploiting model including both tire degradation and tire failures. The estimator of reliability characteristics: reliability function and the probability of k traumatic failure type were analysed. Natural tire wear and traumatic failure time data were analysed with SAS software.

B. von Bahr irode teorema, kurios rezultato optimalumas nezinomas. Sio uzdavinio sprendimui yra reikalingas asimtotinis skleidinys, esantis darbe.

B. von Bahr proved theorem which result is more useful when is shown the asymptotics of it. This asymptotics is the result of work.

Bengt von Bahr irode reorema, kurios rezultato optimalumas yra nezinomas.Sio uzdavinio sprendimui yra reikalinga pasiskirstymo funkcijos asimptotinis skleidinys esantis darbe.

Bengt von Bahr proved theorem which rezult is more useful then is shown.the asymptotics is the result of work.

Nagrinėdami J. Hajeko teoremą apie konvergavimą į Puasono pasiskirstymą, pastebėjome, kad ji įrodyta imtims, kurių elementai sveiki skaičiai. Bet dažniausiai stebimų imčių elementai yra nesveiki skaičiai. Todėl mes savo darbe įrodėme J. Hajeko teoremą imtims iš kvazigardelinių visumų. Įrodėme dvi teoremas skirtingom populiacijom ir gavome kad tikimybes, kad imties elementų suma lygi nesveikam skaičiui, konverguoja į Puasono pasiskirstymą.

While we were analyzing J. Hajeks’ theorem about convergence to the Poison distribution, we noticed that this theorem was demonstrated to the sample from the finite population consisting of whole numbers. Majority of observed samples elements are real numbers. Therefore, we demonstrated J. Hajeks’ theorem for the samples from quasi-grating populations in our work. Also, two theorems were demonstrated for the different sets and we obtained that probability of the sum of the sample elements, which is equal to the real number, converges to the Poison distribution.

Nagrinėdami J. Hajeko teoremą apie konvergavimą į Puasono pasiskirstymą, pastebėjome, kad ji įrodyta imtims, kurių elementai sveiki skaičiai. Bet dažniausiai stebimų imčių elementai yra nesveiki skaičiai. Todėl mes savo darbe įrodėme J. Hajeko teoremą imtims iš kvazigardelinių visumų. Įrodėme dvi teoremas skirtingom populiacijom ir gavome kad tikimybes, kad imties elementų suma lygi nesveikam skaičiui, konverguoja į Puasono pasiskirstymą.

While we were analyzing J. Hajeks’ theorem about convergence to the Poison distribution, we noticed that this theorem was demonstrated to the sample from the finite population consisting of whole numbers. Majority of observed samples elements are real numbers. Therefore, we demonstrated J. Hajeks’ theorem for the samples from quasi-grating populations in our work. Also, two theorems were demonstrated for the different sets and we obtained that probability of the sum of the sample elements, which is equal to the real number, converges to the Poison distribution.

Atsitiktinių dydžių transformacijas, naudojančias normalų dėsnį, kone pirmieji išnagrinėjo E. A. Korniš ir R. A. Fišer [5]. Jie savo straipsnyje pasiūlė funkcijų ir formalų skleidimą eilute. Šios eilutės (tiksliau, jų dalinės sumos) yra plačiai naudojamos matematinėje statistikoje, jos vadinamos Korniš – Fišer skleidiniais. Šio darbo tikslas yra išnagrinėti, kaip Grigelionio GZD ( , , , , ) bei ( , , , ) pasiskirstymams taikomas asimptotinis Edžvorto skleidinys (daugianaris). Nagrinėjome kaip užsirašo minėtas skleidinys keičiantis parametrams. Edžvorto skleidinį išreiškėme apytiksliai. Nes naujieji semiinvariantai, gauti po to, kai centravom bei normavom Grigelionio GZD ( , , , , ) ir ( , , , ) atsitiktinį dydį, užrašyti apytiksliai. Semiinvariantų išreiškimui buvo naudojamas tik pirmas narys funkcijos , kuri užrašyta, naudojantis Eulerio – Makloreno sumavimo formule.

Cornish and Fisher were the firsts scholars who have analysed transformations of the random variables are associated with normal distribution. They suggested formal expansions of the functions x(y) and y(x). These expansions are widely spread in the statistics, they are called Cornish – Fisher expansions. The research is investigated the normal approximations for other distributions. The research is investigated how Edgeworth expansions applied for Br. Grigelionis distributions GZD ( , , , , ) and ( , , , ).

Disertacijoje gautas Dirichlė L funkcijų modifikuotosios Melino transformacijos pratęsimas į visą kompleksinę plokštumą.

In the thesis a meremorphic continuation of Dirichlet L- functions to the whole complex plane have been obtained.

In the thesis moromorphic continuation of modified Mellin transforms of Dirichlet L-functions to the whole complex plane have been obtained.

Disertacijoje gauta modifikuotosios Melino transformacijos L- funkcijai meromorfinis pratęsimas į visą kompleksinę plokštumą.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.

The purpose of the dissertation is to prove universal tight bounds for deviation from the mean probability inequalities for functions of random variables. Universal bounds shows that they are uniform with respect to some class of distributions and quantity of variables and other parameters. The bounds are called tight, if we can construct a sequence of random variables, such that the upper bounds are achieved. Such inequalities are useful for example in insurance mathematics, for constructing effective algorithms. We extend the results for Lipschitz functions on general probability metric spaces.

Disertacijos darbo tikslas – įrodyti universalias tiksliąsias nelygybes atsitiktinių dydžių funkcijų nukrypimo nuo vidurkio tikimybėms. Universalios nelygybės pažymi, kad jos yra tolygios pagal tam tikras bendras skirstinių klases ir pagal atsitiktinių dydžių kiekį, kartais ir pagal kitus parametrus. Nelygybės vadinamos tiksliosiomis, jeigu pavyksta sukonstruoti atsitiktinių dydžių seką, kuriai nelygybės virsta lygybėmis. Tokios nelygybės labai naudingos, pavyzdžiui, draudimo matematikoje, konstruojant efektyvius algoritmus. Disertaciją sudaro šeši skyriai. Pirmasis skyrius yra įvadas, kuriame neformaliai pristatomas disertacijoje tiriamas objektas, pateikiamas bendras darbo aprašymas ir motyvacija. Detalesnė kitų autorių rezultatų apžvalga pateikiama atskirai kiekviename skyriuje. Antrasis skyrius skirtas atvejui, kai atsitiktiniai dydžiai yra aprėžti ir simetriniai. Trečiajame skyriuje įrodomos nelygybės atsitiktiniams dydžiams, tenkinantiems dispersijos aprėžtumo sąlygą. Ketvirtajame skyriuje nagrinėjamos sąlyginai aprėžtų atsitiktinių dydžių sumos. Penktajame skyriuje tiriamos atsitiktinių dydžių sekos, sudarančios martingalą arba supermartingalą, ir joms gaunamos universaliosios tikimybinės nelygybės ir sukonstruojama nehomogeninė Markovo grandinė, kuri yra martingalas, ir kuriai minėtos nelygybės virsta lygybėmis. Šeštajame skyriuje rezultatai yra apibendrinami atsitiktinių dydžių sekos Lipšico funkcijoms.

In the doctoral dissertation, we consider problems of testing and estimating changed segment with unknown starting position and duration of epidemic state in the autoregressive first-order model. The proposed tests are based on partial sums of model residuals and model-parameter partial-estimator polygonal line processes. We derive asymptotic results for these processes in Holder spaces. The behavior of test statistics under the null hypothesis of no change and alternative is provided. Empirical power analysis has shown that tests are more powerful when absolute values of model parameter are quite large or autoregressive process changes from a stationary state to a nonstationary one. We prove the consistency of the least square changed-segment estimators and provide their convergence rates.

Disertacijoje nagrinėjamas pirmos eilės autoregresinio modelio pasikeitusio segmento testavimo ir vertinimo uždavinys. Aprašomo modelio epideminio pasikeitimo pradžia ir ilgis nėra žinomi. Pasiūlyti kriterijai pasikeitusio segmento testavimui, kurie pagrįsti modelio paklaidų įvertinių dalinių sumų ir modelio parametro dalinių įvertinių laužčių procesais. Šiems procesams gautos ribinės teoremos Hiolderio erdvėse. Nurodomas testų statistikų ribinis elgesys esant teisingai nulinei ir alternatyviajai hipotezėms. Iš empirinio kriterijų galios tyrimo rezultatų matyti, kad pasiūlytų testų galia didžiausia aptinkant pasikeitimus iš stacionarios būklės į nestacionarią arba esant artimoms vienetui modelio parametro reikšmėms. Taip pat įrodoma, kad mažiausių kvadratų metodu gauti pasikeitusio segmento pradžios ir ilgio įverčiai bei autoregresinio modelio su pasikeitusiu segmentu parametrų įverčiai yra suderintieji bei pateikiamas jų konvergavimo greitis.

Disertacijoje nagrinėjamas pirmos eilės autoregresinio modelio pasikeitusio segmento testavimo ir vertinimo uždavinys. Aprašomo modelio epideminio pasikeitimo pradžia ir ilgis nėra žinomi. Pasiūlyti kriterijai pasikeitusio segmento testavimui, kurie pagrįsti modelio paklaidų įvertinių dalinių sumų ir modelio parametro dalinių įvertinių laužčių procesais. Šiems procesams gautos ribinės teoremos Hiolderio erdvėse. Nurodomas testų statistikų ribinis elgesys esant teisingai nulinei ir alternatyviajai hipotezėms. Iš empirinio kriterijų galios tyrimo rezultatų matyti, kad pasiūlytų testų galia didžiausia aptinkant pasikeitimus iš stacionarios būklės į nestacionarią arba esant artimoms vienetui modelio parametro reikšmėms. Taip pat įrodoma, kad mažiausių kvadratų metodu gauti pasikeitusio segmento pradžios ir ilgio įverčiai bei autoregresinio modelio su pasikeitusiu segmentu parametrų įverčiai yra suderintieji bei pateikiamas jų konvergavimo greitis.

In the doctoral dissertation, we consider problems of testing and estimating changed segment with unknown starting position and duration of epidemic state in the autoregressive first-order model. The proposed tests are based on partial sums of model residuals and model-parameter partial-estimator polygonal line processes. We derive asymptotic results for these processes in Holder spaces. The behavior of test statistics under the null hypothesis of no change and alternative is provided. Empirical power analysis has shown that tests are more powerful when absolute values of model parameter are quite large or autoregressive process changes from a stationary state to a nonstationary one. We prove the consistency of the least square changed-segment estimators and provide their convergence rates.

Pagrindinis darbo tikslas, naudojant Beveridge-Nelson dekompoziciją, gauti ribines teoremas tiesinių atsitiktinių laukų sumoms. Disertacijoje naudojami Beveridge-Nelson dekompozicijos apibendrinimai gauti V. Paulausko 2010 bei D. Marinucci ir S. Poghosyan 2001. Šie darbai yra P.C.B. Phillips ir V. Solo rezultatų, gautų tiesiniams procesams, apibendrinimas tiesiniams laukams. Pagrindinis metodo privalumas yra tas, kad rezultatus įrodytus inovacijų atsitiktiniams laukams, papildomai pareikalavus, jog tiesinis filtras tenkintų tam tikras sąlygas, galima gana paprastai pritaikyti tiesiniams atsitiktiniams laukams generuotiems šių inovacijų. Išanalizavus Beveridge-Nelson dekompozicijos taikymo galimybes tiesiniams atsitiktiniams laukams, buvo padaryta išvada, jog pati efektyviausia taikymo sritis - Centrinės ribinės teoremos įrodymas. Disertacijoje nagrinėjami tiesiniai atsitiktiniai laukai su įvairių tipų inovacijomis.

The main objective of this thesis is the extension of limit result for sums of random linear field by using Beveridge–Nelson decomposition. To achieve this goal, we use Beveridge–Nelson decomposition generalization by V. Paulauskas presented in 2010 and D. Marinucci and S. Poghosyan presented in 2001. These works extend results of P.C.B. Phillips and V. Solo for random linear fields, which were formulated for linear processes. The method enables results proved for random fields of innovations apply to random linear fields, generated by these innovations, under some additional assumption on linear filter. After the investigation of Beveridge–Nelson decomposition we came to the conclusion that the best application of the method is for the proof of Central limit theorem. We consider random linear fields generated by different type of innovation.

The main objective of this thesis is the extension of limit result for sums of random linear field by using Beveridge–Nelson decomposition. To achieve this goal, we use Beveridge–Nelson decomposition generalization by V. Paulauskas presented in 2010 and D. Marinucci and S. Poghosyan presented in 2001. These works extend results of P.C.B. Phillips and V. Solo for random linear fields, which were formulated for linear processes. The method enables results proved for random fields of innovations apply to random linear fields, generated by these innovations, under some additional assumption on linear filter. After the investigation of Beveridge–Nelson decomposition we came to the conclusion that the best application of the method is for the proof of Central limit theorem. We consider random linear fields generated by different type of innovation. In Chapter 2 we analyze random linear fields generated by martingale difference innovations. Definition of martingale difference in the plane and higher dimension spaces is another important topic analyzed in the thesis, because there exist different ways to define them. We use different definitions of martingale difference presented in the works by D. Tjøstheim, R. Morkvėnas, B. Nahapetian, M. El Machkouri, and prove Central limit theorems for random linear fields with three different types of martingale difference innovations. In the last chapter we consider random linear fields generated by ergodic or mixing (in particular case,... [to full text]

Pagrindinis darbo tikslas, naudojant Beveridge-Nelson dekompoziciją, gauti ribines teoremas tiesinių atsitiktinių laukų sumoms. Disertacijoje naudojami Beveridge-Nelson dekompozicijos apibendrinimai gauti V. Paulausko 2010 bei D. Marinucci ir S. Poghosyan 2001. Šie darbai yra P.C.B. Phillips ir V. Solo rezultatų, gautų tiesiniams procesams, apibendrinimas tiesiniams laukams. Pagrindinis metodo privalumas yra tas, kad rezultatus įrodytus inovacijų atsitiktiniams laukams, papildomai pareikalavus, jog tiesinis filtras tenkintų tam tikras sąlygas, galima gana paprastai pritaikyti tiesiniams atsitiktiniams laukams generuotiems šių inovacijų. Išanalizavus Beveridge-Nelson dekompozicijos taikymo galimybes tiesiniams atsitiktiniams laukams, buvo padaryta išvada, jog pati efektyviausia taikymo sritis - Centrinės ribinės teoremos įrodymas. Disertacijoje nagrinėjami tiesiniai atsitiktiniai laukai su įvairių tipų inovacijomis. Antrame skyriuje yra nagrinėjami tiesiniai atsitiktiniai laukai su martingalinių skirtumų inovacijomis. Diskretaus indekso martingaliniai skirtumai plokštumoje ir didesnio matavimo erdvėse nėra apibrežiami vieninteliu būdu, todėl tai yra kita svarbi tema, nagrinejama darbe. Pasinaudojus martingalinių skirtumų apibrežimais, pateiktais D. Tjøstheim, R. Morkvėno, B. Nahapetian, M. El Machkouri darbuose, disertacijoje įrodomos centrinės ribinės teoremos atsitiktiniams laukams su trimis skirtingais būdais apibrežtomis martingalinių skirtumų inovacijomis. Trečiame... [toliau žr. visą tekstą]

Pagrindinis darbo tikslas – pritaikyti matematinius ir statistinius metodus lietuvių kalbos analizėje, identifikuojant ir atsižvelgiant į lietuvių kalbos ypatumus, jos heterogeniškumą, sudėtingumą ir variabilumą.

The target of the work is to apply mathematical and statistical methods in the analysis of the Lithuanian language by identifying and taking into account peculiarities of the Lithuanian language, its heterogeneity, complexity and variability.

The target of the work is to apply mathematical and statistical methods in the analysis of the Lithuanian language by identifying and taking into account peculiarities of the Lithuanian language, its heterogeneity, complexity and variability.

Pagrindinis darbo tikslas – pritaikyti matematinius ir statistinius metodus lietuvių kalbos analizėje, identifikuojant ir atsižvelgiant į lietuvių kalbos ypatumus, jos heterogeniškumą, sudėtingumą ir variabilumą.

In this thesis, the discrete time risk model with inhomogeneous claims is considered. This model is used for describing the insurer‘s capital and its components: initial capital, premiums received, and claims paid. The main risk measures, ruin probabilities and Gerber-Shiu function, are investigated and recursive formulas are obtained. These formulas give fast and accurate evaluation of the finite time ruin probabilities and Gerber-Shiu function. However, the infinite time investigations require that the Gerber-Shiu function's values for the initial capital equal to 0 must be known. This is slightly more difficult due to the claim inhomogeneity and for this reason a theorem with explicit expression of the infinite time Gerber-Shiu function for a zero initial capital is proposed. However, for the calculation of the infinite time values, some assumption about underlying claim structure must be made. As a solution the cyclically distributed claims are proposed, the algorithms for application of the theorems are given and numerical examples with graphical output are presented. Finally, a special case of discrete time risk model with inhomogeneous claims distributed according geometric law is investigated. In addition to the main results, another discrete time risk model with inhomogeneous claims acquiring rational values is investigated. Two theorems for evaluation of the finite time ruin probabilities are proved and some examples are presented.

Disertaciniame darbe nagrinėjamas diskretaus laiko rizikos modelis su skirtingai pasiskirsčiusiomis žalomis. Šis modelis aprašo draudimo įmonės turtą įtakojančius veiksnius: pradinį kapitalą, gaunamas įmokas, išmokamas žalas. Išvedamos rekursinės formulės, kurių pagalba galima tiksliai ir greitai rasti baigtinio laiko bankroto tikimybių ir Gerber-Shiu funkcijos vertes. Rekursinės formulės taip pat pateikiamos ir begalinio laiko rizikos matams, tačiau nevienodai pasiskirsčiusių žalų atveju iškyla papildomų sunkumų randant bankroto tikimybę ir Gerber-Shiu funkciją, kai pradinis kapitalas lygus 0. Tam įrodoma atskira teorema, tačiau nedarant jokių prielaidų apie žalų pasiskirstymus, apskaičiuoti vertes lengva tikrai nėra. Kaip išeitis pasiūloma cikliškai pasiskirsčiusių žalų struktūra ir pateikiami algoritmai, leidžiantys teoremas pritaikyti praktiškai. Demonstruojant teoremų ir rekursinių formulių veikimą, pateikiami skaitiniai pavyzdžiai su grafinėmis iliustracijomis bei programų kodai. Galiausiai nagrinėjamas atskiras diskretaus laiko rizikos modelio atvejis, kai žalos pasiskirsčiusios skirtingai pagal geometrinį dėsnį. Disertacijoje taip pat yra nagrinėjamas diskretaus laiko rizikos modelis su skirtingai pasiskirsčiusiomis žalomis, kurios įgyja racionalias reikšmes, bei kintančiomis įmokomis ir pradiniu kapitalu, taip pat įgyjančiais racionalias reikšmes su tam tikra sąlyga. Įrodomos dvi teoremos kaip rasti tokio modelio baigtinio laiko bankroto tikimybę ir keli pavyzdžiai.

Disertaciniame darbe nagrinėjamas diskretaus laiko rizikos modelis su skirtingai pasiskirsčiusiomis žalomis. Šis modelis aprašo draudimo įmonės turtą įtakojančius veiksnius: pradinį kapitalą, gaunamas įmokas, išmokamas žalas. Išvedamos rekursinės formulės, kurių pagalba galima tiksliai ir greitai rasti baigtinio laiko bankroto tikimybių ir Gerber-Shiu funkcijos vertes. Rekursinės formulės taip pat pateikiamos ir begalinio laiko rizikos matams, tačiau nevienodai pasiskirsčiusių žalų atveju iškyla papildomų sunkumų randant bankroto tikimybę ir Gerber-Shiu funkciją, kai pradinis kapitalas lygus 0. Tam įrodoma atskira teorema, tačiau nedarant jokių prielaidų apie žalų pasiskirstymus, apskaičiuoti vertes lengva tikrai nėra. Kaip išeitis pasiūloma cikliškai pasiskirsčiusių žalų struktūra ir pateikiami algoritmai, leidžiantys teoremas pritaikyti praktiškai. Demonstruojant teoremų ir rekursinių formulių veikimą, pateikiami skaitiniai pavyzdžiai su grafinėmis iliustracijomis bei programų kodai. Galiausiai nagrinėjamas atskiras diskretaus laiko rizikos modelio atvejis, kai žalos pasiskirsčiusios skirtingai pagal geometrinį dėsnį. Disertacijoje taip pat yra nagrinėjamas diskretaus laiko rizikos modelis su skirtingai pasiskirsčiusiomis žalomis, kurios įgyja racionalias reikšmes, bei kintančiomis įmokomis ir pradiniu kapitalu, taip pat įgyjančiais racionalias reikšmes su tam tikra sąlyga. Įrodomos dvi teoremos kaip rasti tokio modelio baigtinio laiko bankroto tikimybę ir keli pavyzdžiai.

In this thesis, the discrete time risk model with inhomogeneous claims is considered. This model is used for describing the insurer‘s capital and its components: initial capital, premiums received, and claims paid. The main risk measures, ruin probabilities and Gerber-Shiu function, are investigated and recursive formulas are obtained. These formulas give fast and accurate evaluation of the finite time ruin probabilities and Gerber-Shiu function. However, the infinite time investigations require that the Gerber-Shiu function's values for the initial capital equal to 0 must be known. This is slightly more difficult due to the claim inhomogeneity and for this reason a theorem with explicit expression of the infinite time Gerber-Shiu function for a zero initial capital is proposed. However, for the calculation of the infinite time values, some assumption about underlying claim structure must be made. As a solution the cyclically distributed claims are proposed, the algorithms for application of the theorems are given and numerical examples with graphical output are presented. Finally, a special case of discrete time risk model with inhomogeneous claims distributed according geometric law is investigated. In addition to the main results, another discrete time risk model with inhomogeneous claims acquiring rational values is investigated. Two theorems for evaluation of the finite time ruin probabilities are proved and some examples are presented.

Daugelis praktiškai reikšmingu sistemu mokymo uždaviniu reikalauja gebeti panaudoti didelio matavimo, strukturizuotus, netiesinius duomenis. Vaizdu, teksto, socialiniu bei verslo ryšiu analize, ivairus bioinformatikos uždaviniai galetu buti tokiu uždaviniu pavyzdžiais. Todel požymiu išskyrimas dažnai yra pirmasis žingsnis, kuriuo pradedama duomenu analize ir nuo kurio priklauso galutinio rezultato sekme. Šio disertacinio darbo tyrimo objektas yra požymiu išskyrimo algoritmai, besiremiantys priklausomumo savoka. Darbe nagrinejamas priklausomumas, nusakytas kovariacinio operatoriaus Hilberto-Šmidto normos (HSIC mato) branduoliniu ivertiniu. Pasiulyti šiuo ivertiniu besiremiantys HBFE ir HSCA algoritmai leidžia dirbti su bet kokios strukturos duomenimis, bei yra formuluojami tikriniu vektoriu terminais (tai leidžia optimizavimui naudoti standartinius paketus), bei taikytini ne tik prižiurimo, bet ir dalinai prižiurimo mokymo imtims. Pastaruoju atveju HBFE ir HSCA modifikacijos remiasi Laplaso reguliarizacija. Eksperimentais su klasifikavimo bei daugiažymio klasifikavimo duomenimis parodyta, jog pasiulyti algoritmai leidžia pagerinti klasifikavimo efektyvuma lyginant su PCA ar LDA.

In many important real world applications the initial representation of the data is inconvenient, or even prohibitive for further analysis. For example, in image analysis, text analysis and computational genetics high-dimensional, massive, structural, incomplete, and noisy data sets are common. Therefore, feature extraction, or revelation of informative features from the raw data is one of fundamental machine learning problems. Efficient feature extraction helps to understand data and the process that generates it, reduce costs for future measurements and data analysis. The representation of the structured data as a compact set of informative numeric features allows applying well studied machine learning techniques instead of developing new ones.. The dissertation focuses on supervised and semi-supervised feature extraction methods, which optimize the dependence structure of features. The dependence is measured using the kernel estimator of Hilbert-Schmidt norm of covariance operator (HSIC measure). Two dependence structures are investigated: in the first case we seek features which maximize the dependence on the dependent variable, and in the second one, we additionally minimize the mutual dependence of features. Linear and kernel formulations of HBFE and HSCA are provided. Using Laplacian regularization framework we construct semi-supervised variants of HBFE and HSCA. Suggested algorithms were investigated experimentally using conventional and multilabel classification data... [to full text]

In many important real world applications the initial representation of the data is inconvenient, or even prohibitive for further analysis. For example, in image analysis, text analysis and computational genetics high-dimensional, massive, structural, incomplete, and noisy data sets are common. Therefore, feature extraction, or revelation of informative features from the raw data is one of fundamental machine learning problems. Efficient feature extraction helps to understand data and the process that generates it, reduce costs for future measurements and data analysis. The representation of the structured data as a compact set of informative numeric features allows applying well studied machine learning techniques instead of developing new ones.. The dissertation focuses on supervised and semi-supervised feature extraction methods, which optimize the dependence structure of features. The dependence is measured using the kernel estimator of Hilbert-Schmidt norm of covariance operator (HSIC measure). Two dependence structures are investigated: in the first case we seek features which maximize the dependence on the dependent variable, and in the second one, we additionally minimize the mutual dependence of features. Linear and kernel formulations of HBFE and HSCA are provided. Using Laplacian regularization framework we construct semi-supervised variants of HBFE and HSCA. Suggested algorithms were investigated experimentally using conventional and multilabel classification data... [to full text]

Daugelis praktiškai reikšmingu sistemu mokymo uždaviniu reikalauja gebeti panaudoti didelio matavimo, strukturizuotus, netiesinius duomenis. Vaizdu, teksto, socialiniu bei verslo ryšiu analize, ivairus bioinformatikos uždaviniai galetu buti tokiu uždaviniu pavyzdžiais. Todel požymiu išskyrimas dažnai yra pirmasis žingsnis, kuriuo pradedama duomenu analize ir nuo kurio priklauso galutinio rezultato sekme. Šio disertacinio darbo tyrimo objektas yra požymiu išskyrimo algoritmai, besiremiantys priklausomumo savoka. Darbe nagrinejamas priklausomumas, nusakytas kovariacinio operatoriaus Hilberto-Šmidto normos (HSIC mato) branduoliniu ivertiniu. Pasiulyti šiuo ivertiniu besiremiantys HBFE ir HSCA algoritmai leidžia dirbti su bet kokios strukturos duomenimis, bei yra formuluojami tikriniu vektoriu terminais (tai leidžia optimizavimui naudoti standartinius paketus), bei taikytini ne tik prižiurimo, bet ir dalinai prižiurimo mokymo imtims. Pastaruoju atveju HBFE ir HSCA modifikacijos remiasi Laplaso reguliarizacija. Eksperimentais su klasifikavimo bei daugiažymio klasifikavimo duomenimis parodyta, jog pasiulyti algoritmai leidžia pagerinti klasifikavimo efektyvuma lyginant su PCA ar LDA.

Disertacijoje išnagrinėta trečiosios eilės vienmatė pseudoparabolinė lygtis su dviejų tipų nelokaliosiomis sąlygomis. Šiems uždaviniams spręsti sudarytos skirtuminės schemos, kurių stabilumas tiriamas, taikant skirtuminių operatorių su nelokaliosiomis sąlygomis spektro struktūrą. Trečiosios eilės vienmatėms ir dvimatėms pseudoparabolinėms lygtims su integralinėmis sąlygomis sudarytos ir išnagrinėtos padidinto tikslumo skirtuminės schemos. Išnagrinėta dvimatė pseudoparabolinė lygtis su nelokaliosiomis integralinėmis sąlygomis viena koordinačių kryptimi. Tokiam uždaviniui spręsti pritaikytas ir išnagrinėtas lokaliai vienmatis metodas, ištirtos šio metodo stabilumo sąlygos. Taip pat išnagrinėtos: trisluoksnės skirtuminės schemos vienmatei pseudoparabolinei lygčiai su įvairiomis, taip pat ir nelokaliosiomis, sąlygomis; trisluoksnių išreikštinių skirtuminių schemų stabilumo sąlygos.

The thesis analyzes the third-order one-dimensional pseudoparabolic equations with two types of nonlocal conditions. The stability of difference schemes for this problem was studied using the analysis of the spectrum structure of a difference operator with nonlocal conditions. The analysis of the increased accuracy difference schemes for third-order one-dimensional and two-dimensional pseudoparabolic equations with integral conditions has been made. The thesis considers a two-dimensional pseudoparabolic equation with nonlocal integral conditions in one coordinate direction. This problem was solved by a locally one-dimensional method. The stability of a difference scheme has been investigated based on the spectrum structure. The doctoral disertation investigates three-layer difference schemes for one-dimensional pseudoparabolic equations with various, including nonlocal, conditions. Also, the conditions for the stability of three-layer explicit difference schemes have been explored.

The thesis analyzes the third-order one-dimensional pseudoparabolic equations with two types of nonlocal conditions. The stability of difference schemes for this problem was studied using the analysis of the spectrum structure of a difference operator with nonlocal conditions. The analysis of the increased accuracy difference schemes for third-order one-dimensional and two-dimensional pseudoparabolic equations with integral conditions has been made. The thesis considers a two-dimensional pseudoparabolic equation with nonlocal integral conditions in one coordinate direction. This problem was solved by a locally one-dimensional method. The stability of a difference scheme has been investigated based on the spectrum structure. The doctoral disertation investigates three-layer difference schemes for one-dimensional pseudoparabolic equations with various, including nonlocal, conditions. Also, the conditions for the stability of three-layer explicit difference schemes have been explored.

Disertacijoje išnagrinėta trečiosios eilės vienmatė pseudoparabolinė lygtis su dviejų tipų nelokaliosiomis sąlygomis. Šiems uždaviniams spręsti sudarytos skirtuminės schemos, kurių stabilumas tiriamas, taikant skirtuminių operatorių su nelokaliosiomis sąlygomis spektro struktūrą. Trečiosios eilės vienmatėms ir dvimatėms pseudoparabolinėms lygtims su integralinėmis sąlygomis sudarytos ir išnagrinėtos padidinto tikslumo skirtuminės schemos. Išnagrinėta dvimatė pseudoparabolinė lygtis su nelokaliosiomis integralinėmis sąlygomis viena koordinačių kryptimi. Tokiam uždaviniui spręsti pritaikytas ir išnagrinėtas lokaliai vienmatis metodas, ištirtos šio metodo stabilumo sąlygos. Taip pat išnagrinėtos: trisluoksnės skirtuminės schemos vienmatei pseudoparabolinei lygčiai su įvairiomis, taip pat ir nelokaliosiomis, sąlygomis; trisluoksnių išreikštinių skirtuminių schemų stabilumo sąlygos.

Darbo tikslas - išnagrinėti dvimatės parabolinio tipo lygties su nelokaliąja integraline sąlyga sprendimą baigtinių skirtumų metodu. Išnagrinėtas kintamųjų krypčių metodo algoritmas tokiam uždaviniui spręsti. Išnagrinėtas dvimatės parabolinės lygties su keliomis nelokaliosiomis integralinėmis kraštinėmis sąlygomis sprendimas kintamųjų krypčių metodu. Uždavinio sprendinys randamas papildomai išsprendžiant neaukštos eilės algebrinę tiesinių lygčių sistemą, kuri sudaroma panaudojant nelokaliąsias integralines sąlygas. Išanalizuota skirtuminio operatoriaus su nelokaliosiomis sąlygomis spektro struktūra. Spektro struktūra išanalizuota tuo tikslu, kad galima būtų išnagrinėti dvimačio parabolinio uždavinio su viena nelokaliąja integraline sąlyga sprendžiamo kintamųjų krypčių ar lokaliai vienmačiu metodu, stabilumą. Nustatyta nelokaliosios sąlygos įtaka spektro struktūrai. Sudarytas elipsinio uždavinio su papildoma nelokaliąja sąlyga sprendimo algoritmas.

The aim of the work is to analyze the finite difference method for solving two-dimensional parabolic equation with an integral boundary condition. The alternating direction method for solving the problem of this kind is analyzed. This method is applied the alternating direction method for solving two-dimensional parabolic equation with two nonlocal integral condition is analyzed. Solution of the problem is found by resolving an additional linear system of equations of lower order . Structure of the spectrum for difference operator with nonlocal condition is analyzed. In order to analyze stability of two-dimensional parabolic equation with one integral condition the structure of spectrum is analyzed. Influence of nonlocal condition for structure of the spectrum is determined. The finite difference method for elliptic problem is constructed.

The aim of the work is to analyze the finite difference method for solving two-dimensional parabolic equation with an integral boundary condition. The alternating direction method for solving the problem of this kind is analyzed. This method is applied the alternating direction method for solving two-dimensional parabolic equation with two nonlocal integral condition is analyzed. Solution of the problem is found by resolving an additional linear system of equations of lower order . Structure of the spectrum for difference operator with nonlocal condition is analyzed. In order to analyze stability of two-dimensional parabolic equation with one integral condition the structure of spectrum is analyzed. Influence of nonlocal condition for structure of the spectrum is determined. The finite difference method for elliptic problem is constructed.

Darbo tikslas - išnagrinėti dvimatės parabolinio tipo lygties su nelokaliąja integraline sąlyga sprendimą baigtinių skirtumų metodu. Išnagrinėtas kintamųjų krypčių metodo algoritmas tokiam uždaviniui spręsti. Išnagrinėtas dvimatės parabolinės lygties su keliomis nelokaliosiomis integralinėmis kraštinėmis sąlygomis sprendimas kintamųjų krypčių metodu. Uždavinio sprendinys randamas papildomai išsprendžiant neaukštos eilės algebrinę tiesinių lygčių sistemą, kuri sudaroma panaudojant nelokaliąsias integralines sąlygas. Išanalizuota skirtuminio operatoriaus su nelokaliosiomis sąlygomis spektro struktūra. Spektro struktūra išanalizuota tuo tikslu, kad galima būtų išnagrinėti dvimačio parabolinio uždavinio su viena nelokaliąja integraline sąlyga sprendžiamo kintamųjų krypčių ar lokaliai vienmačiu metodu, stabilumą. Nustatyta nelokaliosios sąlygos įtaka spektro struktūrai. Sudarytas elipsinio uždavinio su papildoma nelokaliąja sąlyga sprendimo algoritmas.

Šioje santraukoje trumpai aprašoma V. Kurausko disertacija. Pristatomos abi disertacijos dalys, įvedami atsitiktinių sankirtų grafų ir digrafų modeliai, apibrėžiamos minorinės grafų klasės, suformuluojami sprendžiami uždaviniai bei pateikiami pagrindiniai rezultatai.

This paper summarizes (in Lithuanian) the doctoral dissertation "On two models of random graphs" (in English) by V. Kurauskas. We introduce the random graph models (random intersection graphs, graphs with disjoint excluded minors) studied in the thesis, overview the problems and state the main results.

The dissertation consists of two parts. In the first part several asymptotic properties of random intersection graphs are studied. They include birth thresholds for small complete subgraphs in the binomial random intersection graph, the clique number in sparse random intersection graphs and the chromatic index of random uniform hypergraphs. Several new methods and theoretically and practically relevant algorithms are proposed. Some results are illustrated with data from real-world networks. The second part deals with asymptotic enumeration and properties of graphs from minor-closed classes in the case when the excluded minors are disjoint. The class of graphs without k+1 (vertex-)disjoint cycles and more general classes of graphs without k+1 disjoint excluded minors (satisfying a condition related to fans) are considered. Typical graphs in such classes are shown to have a simple “k apex vertex” structure. Other asymptotic properties (connectivity, number of components, chromatic number, vertex degrees) are also determined. Finally, it is shown that typical graphs without k+1 disjoint minors K4 have a more complicated “2k+1 apex vertex” structure, and properties of such graphs are investigated. Part of the results is proved in greater generality. A variety of methods from computer science, graph theory, combinatorics and the theory of generating functions are applied.

Disertacijoje yra dvi pagrindinės dalys. Pirmojoje dalyje gaunami keli nauji rezultatai uždaviniams, susijusiems su atsitiktiniais sankirtų grafais. Nagrinėjamas pilnojo pografio gimimo slenkstis binominiame atsitiktiniame sankirtų grafe, didžiausios klikos eilė atsitiktiniame retame sankirtų grafe ir chromatinio indekso eilė atsitiktiniame reguliariajame hipergrafe. Sprendimams pasiūloma keletas naujų metodų, taip pat pateikiami teoriškai ir praktiškai svarbūs algoritmai. Kai kurie rezultatai iliustruojami duomenimis iš realių tinklų. Antrojoje dalyje pristatomi rezultatai grafų su uždraustaisiais minorais tematikoje, nagrinėjamas atvejis kai uždraustieji minorai yra nejungūs. Čia tiriamas asimptotinis grafų, neturinčių k+1 nepriklausomų ciklų, skaičius, rezultatai apibendrinami grafų, neturinčių k+1 uždraustųjų minorų, tačiau tenkinančių tam tikrą „vėduoklės“ apribojimą, klasėms. Įrodoma, kad tipiniai tokių klasių grafai turi paprastą „k dydžio blokatoriaus“ struktūrą, nustatomos kitos tokių grafų asimptotinės savybės (jungumas, komponenčių skaičius, viršūnių laipsniai). Galiausiai parodoma, kad tipiniai grafai, neturintys k+1 nepriklausomų minorų K4 turi sudėtingesnę „2k+1 dydžio blokatoriaus“ struktūrą ir ištiriamos kitos jų savybės. Dalis šių rezultatų įrodoma daug bendresniu atveju. Darbe pasitelkiami įvairūs informatikos, kombinatorikos, grafų, tikimybių ir generuojančiųjų funkcijų teorijos metodai.

Disertacijoje tiriamos negrąžintinių imčių pozicinių statistikų tiesinių kombinacijų (L-statistikų) savybės. Pagrindinis disertacijos uždavinys yra L-statistikų skirstinių normaliosios aproksimacijos patikslinimas trumpaisiais Edgeworth'o skleidiniais. Šių aproksimacijų tikslumui įvertinti disertacijoje naudojamas baigtinių populiacijų simetrinių statistikų Hoeffding'o skleidinys. Pirmame disertacijos skyriuje gautos išreikštinės pirmųjų L-statistikos Hoeffding'o skleidinio narių ir skleidinio liekamųjų narių formulės. Jomis naudojantis, antrame disertacijos skyriuje išspręsti tokie uždaviniai: gautas optimalus imties ekstremaliųjų reikšmių dispersijų viršutinysis įvertis; nustatytos pakankamosios L-statistikų asimptotinio normalumo sąlygos; sukonstruotas trumpasis L-statistikos Edgeworth'o skleidinys ir nustatytos pakankamosios šios aproksimacijos sąlygos. Trečiame disertacijos skyriuje sukonstruoti L-statistikos dispersijos ir Edgeworth'o skleidinio parametrų įvertiniai. Ketvirtame disertacijos skyriuje sukonstruoti ir ištirti Stjudentizuotų ir kartotinių imčių L-statistikų trumpieji Edgeworth'o skleidiniai.

Properties of linear combinations of order statistics (L-statistics), where samples are drawn without replacement, are considered in the thesis. The main object of the thesis is an improvement of the normal approximation to distributions of L-statistics by one-term Edgeworth expansions. An accuracy of these approximations is estimated using the Hoeffding decomposition of finite population symmetric statistics. In the first chapter of the thesis, explicit expressions of the first terms and remainder terms of the Hoeffding decomposition of L-statistics are obtained. The main applications of the decomposition are given in the second chapter: the optimal upper bound for variances of the sample minimum and maximum is obtained; sufficient conditions for the asymptotic normality of L-statistics are established; the one-term Edgeworth expansion for L-statistics is constructed and sufficient conditions for the validity of this approximation are obtained. In the third chapter, estimators of the variance and parameters that define the Edgeworth expansion of an L-statistic are constructed. In the fourth chapter, a one-term Edgeworth expansion for a Studentized L-statistic and empirical Edgeworth expansions are constructed and analyzed.

Properties of linear combinations of order statistics (L-statistics), where samples are drawn without replacement, are considered in the thesis. The main object of the thesis is an improvement of the normal approximation to distributions of L-statistics by one-term Edgeworth expansions. An accuracy of these approximations is estimated using the Hoeffding decomposition of finite population symmetric statistics. In the first chapter of the thesis, explicit expressions of the first terms and remainder terms of the Hoeffding decomposition of L-statistics are obtained. The main applications of the decomposition are given in the second chapter: the optimal upper bound for variances of the sample minimum and maximum is obtained; sufficient conditions for the asymptotic normality of L-statistics are established; the one-term Edgeworth expansion for L-statistics is constructed and sufficient conditions for the validity of this approximation are obtained. In the third chapter, estimators of the variance and parameters that define the Edgeworth expansion of an L-statistic are constructed. In the fourth chapter, a one-term Edgeworth expansion for a Studentized L-statistic and empirical Edgeworth expansions are constructed and analyzed.

Disertacijoje tiriamos negrąžintinių imčių pozicinių statistikų tiesinių kombinacijų (L-statistikų) savybės. Pagrindinis disertacijos uždavinys yra L-statistikų skirstinių normaliosios aproksimacijos patikslinimas trumpaisiais Edgeworth'o skleidiniais. Šių aproksimacijų tikslumui įvertinti disertacijoje naudojamas baigtinių populiacijų simetrinių statistikų Hoeffding'o skleidinys. Pirmame disertacijos skyriuje gautos išreikštinės pirmųjų L-statistikos Hoeffding'o skleidinio narių ir skleidinio liekamųjų narių formulės. Jomis naudojantis, antrame disertacijos skyriuje išspręsti tokie uždaviniai: gautas optimalus imties ekstremaliųjų reikšmių dispersijų viršutinysis įvertis; nustatytos pakankamosios L-statistikų asimptotinio normalumo sąlygos; sukonstruotas trumpasis L-statistikos Edgeworth'o skleidinys ir nustatytos pakankamosios šios aproksimacijos sąlygos. Trečiame disertacijos skyriuje sukonstruoti L-statistikos dispersijos ir Edgeworth'o skleidinio parametrų įvertiniai. Ketvirtame disertacijos skyriuje sukonstruoti ir ištirti Stjudentizuotų ir kartotinių imčių L-statistikų trumpieji Edgeworth'o skleidiniai.