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Nesta dissertação estudamos e comparamos dois algoritmos de percolação, um elaborado por Elias e o outro por Newman e Ziff, utilizando ferramentas teóricas da complexidade de algoritmos e um algoritmo que efetuou uma comparação experimental. Dividimos este trabalho em três capítulos. O primeiro aborda algumas definições e teoremas necessários a um estudo matemático mais formal da percolação. O segundo apresenta técnicas utilizadas para o cálculo estimativo de complexidade de algoritmos, sejam elas: pior caso, melhor caso e caso médio. Utilizamos a técnica do pior caso para estimar a complexidade de ambos algoritmos e assim podermos compará-los. O último capítulo mostra diversas características de cada um dos algoritmos e através da estima- tiva teórica da complexidade e da comparação entre os tempos de execução da parte mais importante de cada um, conseguimos comparar esses importantes algoritmos que simulam a percolação

In this work, we study and compare two percolation algorithms, one of then elaborated by Elias, and the other one by Newman and Ziff, using theorical tools of algorithms complexity and another algorithm that makes an experimental comparation. This work is divided in three chapters. The first one approaches some necessary definitions and theorems to a more formal mathematical study of percolation. The second presents technics that were used for the estimative calculation of the algorithms complexity, are they: worse case, better case e average case. We use the technique of the worse case to estimate the complexity of both algorithms and thus we can compare them. The last chapter shows several characteristics of each one of the algorithms and through the theoretical estimate of the complexity and the comparison between the execution time of the most important part of each one, we can compare these important algorithms that simulate the percolation.

Advisors/Committee Members: Joaquim Elias de Freitas, Marcelo Gomes Pereira, Ary Vasconcelos Medino.

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Dentre os diversos tipos de ruídos existentes nos dados sísmicos terrestres está o Ruído de Rolamento Superficial também conhecido como ground roll que é um tipo particular de ondas de Rayleigh com amplitude forte, freqüência baixa e velocidade baixa que gera um cone de grande mergulho no sismograma. O ruído de rolamento superficial contamina os sinais relevantes e pode mascarar a informação desejada, trazidas por ondas espalhadas em regiões mais profundas das camadas geológicas. Nesta dissertação será apresentada uma ferramenta que atenua o ruído de rolamento superficial baseada na transformada curvelet. A técnica consiste em decompor o sismograma em uma base de funções curvelets as quais são localizadas no tempo e na freqüência, além de incorporarem uma orientação angular. Tais características permitem a construção de um filtro curvelet que leva em consideração a localização do ruído em escalas, limiares de corte dos coeficientes curvelets e dos ângulos no sismograma. O método foi testado com dados reais e os resultados obtidos foram muito bons

Among the many types of noise observed in seismic land acquisition there is one produced by surface waves called Ground Roll that is a particular type of Rayleigh wave which characteristics are high amplitude, low frequency and low velocity (generating a cone with high dip). Ground roll contaminates the relevant signals and can mask the relevant information, carried by waves scattered in deeper regions of the geological layers. In this thesis, we will present a method that attenuates the ground roll. The technique consists in to decompose the seismogram in a basis of curvelet functions that are localized in time, in frequency, and also, incorporate an angular orientation. These characteristics allow to construct a curvelet filter that takes in consideration the localization of denoise in scales, times and angles in the seismogram. The method was tested with real data and the results were very good

Advisors/Committee Members: Francisco Edcarlos Alves Leite, Joaquim Elias de Freitas, Luciano Rodrigues da Silva, Liacir dos Santos Lucena.

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Na atividade exploratória de hidrocarbonetos a grande incógnita é a localização das jazidas. Grandes esforços são empreendidos na tentativa de melhor identificá-las, localizá-las e, ao mesmo tempo, otimizar a relação custo-benefício da extração de Petróleo. Os métodos sísmicos são os mais utilizados pelo fato de serem indiretos, isto é, sondam as camadas de subsuperfície sem invadi-las. O sismograma é a representação do interior da Terra e de suas estruturas através de um arranjo convenientemente disposto dos dados obtidos por meio da sísmica de reflexão. Um grande problema nessa representação é a intensidade e variedade de ruídos presentes no sismograma, como o ruído de rolamento superficial que contamina os sinais relevantes e pode mascarar as informações desejadas, trazidas por ondas espalhadas em regiões mais profundas das camadas geológicas. Desenvolvemos uma ferramenta para suprimir estes ruídos que usa transformadas Wavelets 1D e 2D. O programa, em linguagem Java, faz a separação das imagens Sísmicas considerando as direções (horizontal, vertical e mistas ou locais) e faixas de comprimentos de ondas que formam essas imagens, usando Wavelets de Daubechies, Autoresolução que duplica o comprimento das ondas e Produto Tensorial das bases de Wavelets. Desenvolvemos a opção, em uma mesma imagem, de usar o produto tensorial de Wavelets de dimensão 2 ou produto tensorial de Wavelets de dimensão 1 pelas identidades. Neste último caso, temos a Decomposição em Wavelets de um sinal bidimensional em uma única direção. Esta decomposição permite alongar numa determinada direção as Wavelets bidimensionais, corrigindo efeitos de escalas ao aplicarmos Autoresoluções. Em outras palavras, aperfeiçoamos o tratamento de uma imagem sísmica, usandoWavelet 1D eWavelet 2D em etapas diferentes de Autoresoluções. Também implementamos melhorias na visualização das imagens associadas às decomposições em cada Autoresolução, facilitando as escolhas das imagens com os sinais de interesse para reconstrução da imagem sem os ruídos. O programa foi testado com dados reais e os resultados obtidos foram de boa qualidade

In the Hydrocarbon exploration activities, the great enigma is the location of the deposits. Great efforts are undertaken in an attempt to better identify them, locate them and at the same time, enhance cost-effectiveness relationship of extraction of oil. Seismic methods are the most widely used because they are indirect, i.e., probing the subsurface layers without invading them. Seismogram is the representation of the Earths interior and its structures through a conveniently disposed arrangement of the data obtained by seismic reflection. A major problem in this representation is the intensity and variety of present noise in the seismogram, as the surface bearing noise that contaminates the relevant signals, and may mask the desired information, brought by waves scattered in deeper regions of the geological layers. It was developed a tool to suppress these noises based on wavelet transform 1D and 2D. The Java language program…

Advisors/Committee Members: Luciano Rodrigues da Silva, Samyr Silva Bezerra Jácome, Joaquim Elias de Freitas.

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O principal objetivo do presente trabalho foi aplicar métodos recentemente desenvolvidos em física-estatística às séries temporais, em especial a dados de perfis elétricos de indução de 54 poços de petróleo localizados no Campo de Namorado Bacia de Campos - RJ, para estudar a similaridade petrofísica dos poços numa distribuição espacial. Para isto, utilizamos o método do DFA com o intuito de saber se podemos, ou não, utilizar esta técnica para caracterizar espacialmente o campo. Depois de obtidos os valores de DFA para todos os poços, fizemos uma análise de agrupamento com relação a estas características; para tanto, utilizamos o método de agrupamento não-hierárquico chamado método K-média. Geralmente baseado na distância euclidiana, o K-média consiste em dividir os elementos de uma matriz n de dados em k grupos bem definidos, de maneira que as semelhanças existentes entre elementos pertencentes a grupos distintos sejam as menores possíveis. Com o objetivo de verificar se um conjunto de dados gerados pelo método do K-média ou gerado aleatoriamente forma padrões espaciais, criamos o parâmetro Ω (índice de vizinhança). Altos valores de Ω implicam em dados mais agregados e baixos valores de Ω em dados dispersos ou sem correlação espacial. Com auxílio do método de Monte Carlo observamos que dados agrupados aleatoriamente apresentam uma distribuição de Ω inferior ao valor empírico. Desta forma concluímos que os dados de DFA obtidos nos 54 poços estão agrupados e podem ser usados na caracterização espacial de campos. Ao cruzar os dados das curvas de nível com os resultados obtidos pelo K-média, confirmamos a eficiência do mesmo para correlacionar poços em distribuição espacial

The main objective of this study is to apply recently developed methods of physical-statistic to time series analysis, particularly in electrical inductions profiles of oil wells data, to study the petrophysical similarity of those wells in a spatial distribution. For this, we used the DFA method in order to know if we can or not use this technique to characterize spatially the fields. After obtain the DFA values for all wells, we applied clustering analysis. To do these tests we used the non-hierarchical method called K-means. Usually based on the Euclidean distance, the K-means consists in dividing the elements of a data matrix N in k groups, so that the similarities among elements belonging to different groups are the smallest possible. In order to test if a dataset generated by the K-means method or randomly generated datasets form spatial patterns, we created the parameter Ω (index of neighborhood). High values of Ω reveals more aggregated data and low values of Ω show scattered data or data without spatial correlation. Thus we concluded that data from the DFA of 54 wells are grouped and can be used to characterize spatial fields. Applying contour level technique we confirm the results obtained by the K-means, confirming that DFA is effective to perform spatial analysis

Advisors/Committee Members: Gilberto Corso, Joaquim Elias de Freitas, Marcelo Leite Lyra, Umberto Laino Fulco.

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Nesta dissertação estudamos o problema da percolação num suporte geométrico multifractal, em suas diferentes versões, e analisamos a conexão deste problema com a percolação convencional e com o formalismo dos fenômenos críticos. A projeção da estrutura multifractal numa rede regular subjacente permite mapear o problema da percolação aleatória no multifractal num problema de percolação correlacionada numa rede regular. Também investigamos o comportamento crítico do modelo da percolação por invasão neste tipo de ambiente e discutimos a questão do efeito de tamanho finito

In this work we have studied the problem of percolation in a multifractal geometric support, in its different versions, and we have analysed the conection between this problem and the standard percolation and also the connection with the critical phenomena formalism. The projection of the multifractal structure into the subjacent regular lattice allows to map the problem of random percolation in the multifractal lattice into the problem of correlated percolation in the regular lattice. Also we have investigated the critical behavior of the invasion percolation model in this type of environment. We have discussed get the finite size effects

Advisors/Committee Members: Liacir dos Santos Lucena, Gilberto Corso, Joaquim Elias de Freitas, Marcelo Leite Lyra.

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No presente estudo foram elaborados algoritmos, utilizando conceitos da teoria da percolação, que analisam as condições de conectividade em modelos geológicos elaborados para reservatórios de petróleo. A partir de seus parâmetros petrofísicos, tais como: permeabilidade, porosidade, transmissibilidade e outros, gerados por qualquer processo estatístico, é possível conhecer qual a porção do modelo onde ocorre o maior número de células conectadas, quais são os poços que estão conectados entre si e qual o caminho mínimo entre injetores e produtores. Permitindo, assim, classificar o reservatório segundo os parâmetros petrofísicos modelados. Podendo determinar, também, qual a porcentagem do reservatório a que cada poço está conectado. De uma forma geral, as regiões conectadas e os respectivos mínimos e/ou máximos da ocorrência dos parâmetros petrofísicos estudados, constituem uma boa forma de caracterizar volumetricamente um reservatório. Os algoritmos permitem, então, otimizar o posicionamento de locações de poços oferecendo uma visão antecipada das condições gerais da conectividade de um determinado modelo. A intenção não é avaliar modelos geológicos, mas mostrar como as jazidas são interpretadas, como suas características petrofísicas se distribuem espacialmente e como as conexões entre as diversas partes do sistema são resolvidas, mostrando seus caminhos críticos e backbones. A execução desses algoritmos permite que as características relativas à conectividade do modelo sejam conhecidas mesmo antes de se iniciar o trabalho de simulação de fluxo do reservatório

In the present study we elaborated algorithms by using concepts from percolation theory which analyze the connectivity conditions in geological models of petroleum reservoirs. From the petrophysical parameters such as permeability, porosity, transmittivity and others, which may be generated by any statistical process, it is possible to determine the portion of the model with more connected cells, what the interconnected wells are, and the critical path between injector and source wells. This allows to classify the reservoir according to the modeled petrophysical parameters. This also make it possible to determine the percentage of the reservoir to which each well is connected. Generally, the connected regions and the respective minima and/or maxima in the occurrence of the petrophysical parameters studied constitute a good manner to characterize a reservoir volumetrically. Therefore, the algorithms allow to optimize the positioning of wells, offering a preview of the general conditions of the given models connectivity. The intent is not to evaluate geological models, but to show how to interpret the deposits, how their petrophysical characteristics are spatially distributed, and how the connections between the several parts of the system are resolved, showing their critical paths and backbones. The execution of these algorithms allows us to know the properties of the models connectivity before the work on reservoir flux simulation is started

Advisors/Committee Members: Luciano Rodrigues da Silva, Liacir dos Santos Lucena, Joaquim Elias de Freitas, Murilo Pereira de Almeida.

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Neste trabalho apresentamos uma exposição da teoria matemática das wavelets ortogonais de suporte compacto no contexto de análise de multiresolução. Estas wavelets são particularmente atraentes porque conduzem a um algoritmo estável e muito eficiente, isto é, a Transformada Rápida Wavelet (FWT). Um dos nossos objetivos é desenvolver algoritmos eficientes para o calculo dos coeficientes wavelet (FWT) através do algoritmo pirâmidal de Mallat e discutir sua conexão com Banco de Filtros. Estudamos também o conceito de análise de multiresolução, que é o contexto em que wavelets podem ser entendidas e construídas naturalmente, tomando um importante passo na mudança do universo Matemático (Domínio Contínuo) para o Universo da representação (Domínio Discreto).

In this work we presented an exhibition of the mathematical theory of orthogonal compact support wavelets in the context of multiresoluction analysis. These are particularly attractive wavelets because they lead to a stable and very efficient algorithm, that is Fast Transform Wavelet (FWT). One of our objectives is to develop efficient algorithms for calculating the coefficients wavelet (FWT) through the pyramid algorithm of Mallat and to discuss his connection with filters Banks. We also studied the concept of multiresoluction analysis, that is the context in that wavelets can be understood and built naturally, taking an important step in the change from the Mathematical universe (Continuous Domain) for the Universe of the representation (Discret Domain)

Advisors/Committee Members: Edemerson Solano Batista de Morais, Joaquim Elias de Freitas, Marcelo Gomes Pereira.

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In this work, the study of some complex systems is done with use of two distinct procedures. In the first part, we have studied the usage of Wavelet transform on analysis and characterization of (multi)fractal time series. We have test the reliability of Wavelet Transform Modulus Maxima method (WTMM) in respect to the multifractal formalism, trough the calculation of the singularity spectrum of time series whose fractality is well known a priori. Next, we have use the Wavelet Transform Modulus Maxima method to study the fractality of lungs crackles sounds, a biological time series. Since the crackles sounds are due to the opening of a pulmonary airway bronchi, bronchioles and alveoli which was initially closed, we can get information on the phenomenon of the airway opening cascade of the whole lung. Once this phenomenon is associated with the pulmonar tree architecture, which displays fractal geometry, the analysis and fractal characterization of this noise may provide us with important parameters for comparison between healthy lungs and those affected by disorders that affect the geometry of the tree lung, such as the obstructive and parenchymal degenerative diseases, which occurs, for example, in pulmonary emphysema. In the second part, we study a site percolation model for square lattices, where the percolating cluster grows governed by a control rule, corresponding to a method of automatic search. In this model of percolation, which have characteristics of self-organized criticality, the method does not use the automated search on Leaths algorithm. It uses the following control rule: pt+1 = pt + k(Rc − Rt), where p is the probability of percolation, k is a kinetic parameter where 0 <k <1 and R is the fraction of percolating finite square lattices with side L, LxL. This rule provides a time series corresponding to the dynamical evolution of the system, in particular the likelihood of percolation p. We proceed an analysis of scaling of the signal obtained in this way. The model used here enables the study of the automatic search method used for site percolation in square lattices, evaluating the dynamics of their parameters when the system goes to the critical point. It shows that the scaling of , the time elapsed until the system reaches the critical point, and tcor, the time required for the system loses its correlations, are both inversely proportional to k, the kinetic parameter of the control rule. We verify yet that the system has two different time scales after : one in which the system shows noise of type 1 f , indicating to be strongly correlated. Another in which it shows white noise, indicating that the correlation is lost. For large intervals of time the dynamics of the system shows ergodicity

Neste trabalho, o estudo de alguns sistemas complexos é feito com a utilização de dois procedimentos distintos. Na primeira parte, estudamos a utilização da transformada Wavelet na análise e caracterização (multi)fractal de séries temporais. Testamos a confiabilidade do Método do Máximo do Módulo da…

Advisors/Committee Members: Luciano Rodrigues da Silva, Liacir dos Santos Lucena, Madras Viswanathan Gandhi Mohan, Joaquim Elias de Freitas, Roberto Fernandes Silva Andrade.

▼ O comportamento complexo de uma ampla variedade de fenômenos que são de interesse de matemáticos, físicos, químicos e engenheiros é caracterizado quantitativamente por meio de idéias de distribuições de fractais e multifractais, que correspondem de modo único à forma geométrica e a propriedades dinâmicas dos sistemas em estudo. Nesta tese apresentamos o Espaço dos Fractais e os métodos de Hausdorff-Besicovitch, de Contagem de Caixas e de Escala, para calcular a Dimensão Fractal de um Conjunto. Estudamos também fenômenos de percolação em objetos multifractais construídos de maneira simples. O objeto central de nossas análises é um objeto multifractal que chamamos de Qmf . Nestes objetos a multifractalidade surge diretamente da sua forma geométrica. Identificamos algumas diferenças entre percolação nos multifractais que propusemos e percolação em uma rede quadrada. Existem basicamente duas fontes destas diferenças. A primeira está relacionada com o número de coordenação, c, que muda ao longo do multifractal. A segunda vem da maneira como o peso de cada célula no multifractal afeta o aglomerado percolante. Usamos muitas amostras de redes de tamanho finito e fizemos o histograma de redes percolantes versus a probabilidade de ocupação p. Dependendo de um parâmetro, ρ, que caracteriza o multifractal e o tamanho da rede, L, o histograma pode ter dois picos. Observamos que a probabilidade de ocupação no limiar de percolação, pc, para o multifractal, em suporte d = 2, é menor do que para a rede quadrada. Calculamos a dimensão fractal do aglomerado percolante e o expoente crítico β. A despeito das diferenças topológicas, encontramos que a percolação em um suporte multifractal está na mesma classe de universalidade da percolação padrão. A área e o número de vizinhos dos blocos de Qmf apresentam um comportamento não-trivial. Uma visão geral do objeto Qmf mostra uma anisotropia. O valor de pc é uma função de ρ que está relacionada com esta anisotropia. Analisamos a relação entre pc e o número médio de vizinhos dos blocos, assim como, a anisotropia de Qmf. Nesta tese estudamos também a distribuição de caminhos mínimos em sistemas percolativos no limiar de percolação em duas dimensões (2D). Estudamos caminhos que começam em um determinado ponto e terminam em vários outros pontos. Na terminologia da indústria do petróleo, ao ponto inicial dado associamos um poço de injeção (injetor) e aos outros pontos associamos poços de produção (produtores). No caso padrão apresentado anteriormente de um poço de injeção e um poço de produção, separados por uma distância euclidiana r, a distribuição de caminhos mínimos l, P(l|r), apresenta um comportamento de lei-de-potência com expoente gl = 2, 14 em 2D. Analisamos a situação de um injetor e uma matriz A de produtores. Configurações simétricas de produtores levam a uma distribuição, P(l|A), com um único pico, que é a probabilidade que o caminho mínimo entre o injetor e a matriz de produtores seja l, enquanto que as configurações assimétricas levam a… Advisors/Committee Members: Gilberto Corso, Liacir dos Santos Lucena, Joaquim Elias de Freitas, Murilo Pereira de Almeida, Luciano Rodrigues da Silva.

▼ The complex behavior of a wide variety of phenomena that are of interest to physicists, chemists, and engineers has been quantitatively characterized by using the ideas of fractal and multifractal distributions, which correspond in a unique way to the geometrical shape and dynamical properties of the systems under study. In this thesis we present the Space of Fractals and the methods of Hausdorff-Besicovitch, box-counting and Scaling to calculate the fractal dimension of a set. In this Thesis we investigate also percolation phenomena in multifractal objects that are built in a simple way. The central object of our analysis is a multifractal object that we call Qmf . In these objects the multifractality comes directly from the geometric tiling. We identify some differences between percolation in the proposed multifractals and in a regular lattice. There are basically two sources of these differences. The first is related to the coordination number, c, which changes along the multifractal. The second comes from the way the weight of each cell in the multifractal affects the percolation cluster. We use many samples of finite size lattices and draw the histogram of percolating lattices against site occupation probability p. Depending on a parameter, ρ, characterizing the multifractal and the lattice size, L, the histogram can have two peaks. We observe that the probability of occupation at the percolation threshold, pc, for the multifractal is lower than that for the square lattice. We compute the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponent β. Despite the topological differences, we find that the percolation in a multifractal support is in the same universality class as standard percolation. The area and the number of neighbors of the blocks of Qmf show a non-trivial behavior. A general view of the object Qmf shows an anisotropy. The value of pc is a function of ρ which is related to its anisotropy. We investigate the relation between pc and the average number of neighbors of the blocks as well as the anisotropy of Qmf. In this Thesis we study likewise the distribution of shortest paths in percolation systems at the percolation threshold in two dimensions (2D). We study paths from one given point to multiple other points. In oil recovery terminology, the given single point can be mapped to an injection well (injector) and the multiple other points to production wells (producers). In the previously standard case of one injection well and one production well separated by Euclidean distance r, the distribution of shortest paths l, P(l|r), shows a power-law behavior with exponent gl = 2.14 in 2D. Here we analyze the situation of one injector and an array A of producers. Symmetric arrays of producers lead to one peak in the distribution P(l|A), the probability that the shortest path between the injector and any of the producers is l, while the asymmetric configurations lead to several peaks in the distribution. We analyze configurations in which the injector is outside and inside the… Advisors/Committee Members: Joaquim Elias de Freitas, Murilo Pereira de Almeida, Luciano Rodrigues da Silva, Liacir dos Santos Lucena, Gilberto Corso.

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Nesta tese estudamos alguns problemas relacionados a reservatórios de petróleo usando métodos e conceitos da Física Estatística. A tese pode ser dividida em duas partes. A primeira apresenta um estudo do problema de percolação em um suporte multifractal aleatório motivado por sua potencial aplicação na modelagem de reservatórios de petróleo. Desenvolvemos uma rede heterogênea e anisotrópica que segue uma distribuição multifractal aleatória das áreas de seus sítios. Em seguida, determinamos o limiar de percolação nessa rede, a dimensão fractal do aglomerado percolante e os expoentes críticos ß e v. Na segunda parte, propomos uma sistemática alternativa de modelagem e simulação de reservatórios de petróleo. Introduzimos um modelamento estatístico baseado em uma formulação estocástica da Lei de Darcy. Nele a distribuição de permeabilidades no reservatório equivale localmente ao modelo básico de percolação por ligações

In this thesis we study some problems related to petroleum reservoirs using methods and concepts of Statistical Physics. The thesis could be divided percolation problem in random multifractal support motivated by its potential application in modelling oil reservoirs. We develped an heterogeneous and anisotropic grid that followin two parts. The first one introduce a study of the percolations a random multifractal distribution of its sites. After, we determine the percolation threshold for this grid, the fractal dimension of the percolating cluster and the critical exponents ß and v. In the second part, we propose an alternative systematic of modelling and simulating oil reservoirs. We introduce a statistical model based in a stochastic formulation do Darcy Law. In this model, the distribution of permeabilities is localy equivalent to the basic model of bond percolation

Advisors/Committee Members: Luciano Rodrigues da Silva, Liacir dos Santos Lucena, Gilberto Corso, Joaquim Elias de Freitas, Marcelo Leite Lyra, Ronald Dickman.