O objetivo dessa dissertação é estudar imersões de variedades com curvaturas seccionais não-negativas. Mais precisamente, iremos detalhar um artigo de M. do Carmo e E. Lima, que dá uma nova demonstração de um teorema devida a Sacksteder. Usando argumentos da Topologia Diferencial, os dois autores provaram, entre outras coisas, que uma hipersuperfície completa Mn de Rn+1 com curvaturas seccionais não-negativas é convexa se pelo menos uma dessas curvaturas seccionais for positiva.

The objective this dissertation and study immersions of manifolds with negative sectional curvature Non- . More precisely , we will detail hum article M. Carmo and E. Lima , that of a new hum Statement theorem DUE one Sacksteder . Using Arguments Differential Topology, The Two Authors proved , among other things, a que complete hypersurface Mn Rn + 1 WITH sectional curvatures negative Non- And if convex at Least One such sectional curvature to positive.

CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico

Nesta dissertação, apresentaremos uma caracterização das esferas euclidianas S . n Sejam g e γ duas geodésicas parametrizadas que se interceptam em um ponto p de M . A essa situação chamaremos de con guração e representaremos por (g, γ) . Agora consideremos a seguinte condição: Para toda p con guração (g, γ) e para todo ponto q = γ(s) 6= p existem dois e apenas p dois números reais t e t , com t < 0 < t , tais que os pontos r = g(t ) 1 2 2 1 1 1 e r = g(t ) determinam os segmentos geodésicos [q, r ] e [q, r ] , de modo 2 2 1 γ 2 τ que os triângulos geodésicos ([p, q] , [q, r ] , [r , p] ) e ([p, q] , [q, r ] , [r , p] ) γ 1 σ 1 g γ 2 τ 2 g são triângulos isósceles cuja base comum é [p, q]. γ Mostraremos que se uma variedade Riemanniana M , completa, conexa, de dimensão n ≥−2 e orientada satisfaz o axioma acima, então M é isométrica a S . Em verdade, usaremos o fato que a condição acima é su ciente para que n M seja uma variedade wiedersehen. Daí a caracterização desejada segue-se dos trabalhos de L.W.Green [8], C.T.Yang [1] e J. Kazdan [7].

In this dissertation, we propose a characterization of Euclidean spheres S . n Let g and γ be parameterized geodesics meeting at a point p of M . Such arrangement will be called a con guration and denoted by (g, γ)Γ. Let us p consider the following condition: For any con guration (g, γ) and a point p q = γ(s) 6= p, there exist two and only two parameters t < 0Γ< t such 1 2 that r = g(t ) and r = g(t ) determine geodesic segments [q, r ] and 1 1 2 2 1 σ [q, r ]in such a way that the geodesic triangles ([p, q], [q, r ], [r , p]) and 2 τ γ 1 σ 1 g ([p, q], [q, r ], [r , p] ) are both isosceles having [p, q]Γas a common basis. γ 2 τ 2 g γ We show that if a Riemannian manifold M is complete, connected, oriented and of dimension n ≥−2Γand satis es the condition above then M is isometric to S . Actually, the axiom above assures that M is a Wiedersehen n manifold. Hence, the result will follow from L.W.Green [8], C.T.Yang [1] and J. Kazdan [7].

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

Neste trabalho, dissertamos sobre uma teoria abstrata para a equação de variedades bidimensionais (ou simplesmente superfícies), a saber, a teoria dos pares de Codazzi, formas espaciais R³, S³ e H³. Precisamente, generalizamos alguns teoremas clássicos da teoria de superfícies e unificamos a prova de outros resultados, aparentemente não relacionados. Além disso, estudamos a existência de diferenciais quadráticas holomorfas, estimativas de altura e aplicamos a referida teoria abstrata na classificação das superfícies de Weingarten especiais elípticas, completas e mergulhadas em R³, cuja curvatura Gaussiana não muda de sinal.

In this work , we talk about an abstract theory for the equation of two-dimensional varieties ( or just surfaces) , namely the theory of pairs of Codazzi , spatial forms R³ , S³ and H³ . Precisely, we generalize some classical theorems of the theory of surfaces and unified proof of other results, seemingly unrelated . In addition , we study the existence of holomorphic quadratic differential , high estimates and apply the abstract theory that the classification of surfaces of special Weingarten elliptical , complete and dipped in R³ , whose Gaussian curvature does not change sign.

CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior