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Freie Universität Berlin

1. Timmreck, Dagmar Ingrid. Realisierungsprobleme für Punktkonfigurationen und Polyedrische Flächen.

Degree: 2015, Freie Universität Berlin

Realisierungsprobleme treten in der diskreten Geometrie an den veschiedensten Stellen auf. Die allgemeine Fragestellung ist dabei, ob es ein Objekt im Anschauungsraum gibt, dass vorgegebene kombinatorische Bedingungen erfüllt. Der direkte Weg, diese Frage zu beantworten, ist, ein Objekt mit den geforderten Eigenschaften zu konstruieren. Für Nicht-Realisierbarkeit ist der direkte Weg eine vollständige Aufzählung aller möglichen Objekte und der Nachweis, dass keines davon die kombinatorischen Bedingungen erfüllt. Theoretisch ist das oft möglich, da die diskrete Fragestellung nur endlich viele kombinatorische Möglichkeiten zulässt. In der Praxis scheitert dieser Ansatz an der exponentiell mit der Größe des Objekts wachsenden Anzahl an Möglichkeiten. Daher braucht man alternative Methoden, um Nicht- Realisierbarkeit nachzuweisen. In Kapitel 1 befassen wir uns mit einer Fragestellung über Punktkonfigurationen in der Ebene. Aus Ideen von Ungar einerseits und Pach, Pinchasi und Sharir andererseits entwickeln wir zwei Algorithmen, die für eine gegebene Punktkonfiguration Teilmengen der Verbindungsstrecken finden, die nicht parallel und zusätzlich primitiv oder nicht-vermeidend sind. Danach untersuchen wir den Katalog von Jamison und Hill, der alle bekannten Punktkonfigurationen enthält, die die minimale Anzahl verschiedener Steigungen definieren. Unter diesen finden wir drei Beispiele, in denen es keine Teilmenge von Verbindungsstrecken gibt, die gleichzeitig alle Richtungen repräsentieren, nicht-vermeidend und primitiv sind. In Kapitel 2 konstruieren wir eine Familie deformierter d-dimensionaler Würfel. Für jede Dimension d >= 4 erhalten wir einen Würfel Cd, der einen aufsteigenden Hamiltonpfad bezüglich der letzten Koordinate xd hat. Gleichzeitig enthält Cd die Flächen Fd auf 2d Ecken von McMullen, Schulz und Wills im 2-Skelett derart, dass Fd die Projektion auf die letzten drei Koordinaten übersteht. Dazu benutzen wir Ansätze von Ziegler und Rörig. Der Ausgangspunkt für Kapitel 3 ist die von Goresky und MacPherson entwickelte Stratifizierte Morse Theorie (SMT). Für polyedrische Komplexe in Rd zeigen wir, dass die Morsedaten nur aus der Eckenreihenfolge und den kombinatorischen Daten gewonnen werden können. Anschließend gehen wir für polyedrische Flächen im R3 über die reine SMT hinaus und untersuchen genauer, wie kritische Punkte aussehen können und welche Effekte sie haben. In Kapitel 4 folgen wir einem Ansatz von Novik, der die klassische Hindernistheorie für stückweise lineare Einbettbarkeit nutzt, um „Hindernissysteme'“ für geometrische Realisierbarkeit anzugeben. Wir konstruieren zu einem gegebenen Simplizialkomplex K und ganzzahliges m ein System linearer Gleichungen und Ungleichungen. Wenn K eine simpliziale Einbettung in Rm hat, dann hat das System eine ganzzahlige Lösung. Die Bedingungen bei Novik rühren von Schnittzahlen her. In dieser Arbeit beschreiben wir, wie wir zusätzliche Bedingungen aus Verschlingungszahlen erhalten. Advisors/Committee Members: [email protected] (contact), w (gender), Prof. Günter M. Ziegler (firstReferee), Prof. Ulrich Brehm (furtherReferee).

Subjects/Keywords: slope problem; realizability; deformed cubes; polyhedral surfaces; Morse theory; obstruction theory; 500 Naturwissenschaften und Mathematik; 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik; 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::514 Topologie; 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::516 Geometrie

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APA (6th Edition):

Timmreck, D. I. (2015). Realisierungsprobleme für Punktkonfigurationen und Polyedrische Flächen. (Thesis). Freie Universität Berlin. Retrieved from http://dx.doi.org/10.17169/refubium-14465

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Chicago Manual of Style (16th Edition):

Timmreck, Dagmar Ingrid. “Realisierungsprobleme für Punktkonfigurationen und Polyedrische Flächen.” 2015. Thesis, Freie Universität Berlin. Accessed August 14, 2020. http://dx.doi.org/10.17169/refubium-14465.

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MLA Handbook (7th Edition):

Timmreck, Dagmar Ingrid. “Realisierungsprobleme für Punktkonfigurationen und Polyedrische Flächen.” 2015. Web. 14 Aug 2020.

Vancouver:

Timmreck DI. Realisierungsprobleme für Punktkonfigurationen und Polyedrische Flächen. [Internet] [Thesis]. Freie Universität Berlin; 2015. [cited 2020 Aug 14]. Available from: http://dx.doi.org/10.17169/refubium-14465.

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Council of Science Editors:

Timmreck DI. Realisierungsprobleme für Punktkonfigurationen und Polyedrische Flächen. [Thesis]. Freie Universität Berlin; 2015. Available from: http://dx.doi.org/10.17169/refubium-14465

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