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Freie Universität Berlin

1. Reininghaus, Jan. Algorithmische Diskrete Morse-Theorie.

Degree: 2012, Freie Universität Berlin

Basierend auf Formans diskreter Morse Theorie schlage ich in meiner Doktorarbeit einen allgemeinen algorithmischen Ansatz zur Datenanalyse in einer graphentheoretischen Formulierung vor. Dieser rein kombinatorische Ansatz erlaubt es, die extremale Struktur von Skalarfeldern und Vektorfeldern, welche auf diskrete Mannigfaltigkeiten definiert sind, zu extrahieren. Die extremale Struktur von einem Skalarfeld besteht aus kritischen Punkten und Separatrizen  – bestimmte Tangentialkurven des Gradientenfelds, die die kritischen Punkte verbinden. Die extremale Struktur von Vektorfeldern beinhaltet zusätzlich periodische Orbits  – die geschlossenen Tangentialkurven des Vektorfelds. Diese Merkmale sind in vielen Anwendungen von großem Interesse, da sie es ermöglichen, große Datensätze auf ihre essentielle Struktur zu reduzieren. Eine Herausforderung für klassische numerische Algorithmen stellt die diskrete Natur der extremalen Struktur dar, welche eine große Zahl von Binärentscheidungen bedingt. Das Ergebnis solcher Methoden hängt daher stark von der Wahl der Berechnungsparameter ab. Die Morse Theorie setzt die extremale Struktur einer generischen Funktion zu der Topologie der Mannigfaltigkeit in Beziehung, z.B. im Poincare-Hopf Theorem. Unter Umständen können klassische numerische Methoden daher unzulässige Ergebnisse erzeugen. Robin Forman hat eine diskrete Version von der Morse Theorie entwickelt. Diese Version kann als eine Diskretisierung der zulässigen extremalen Strukturen einer diskreten Mannigfaltigkeit interpretiert werden. Die Grundidee meines allgemein algorithmischen Ansatzes zur Datenanalyse ist es, ein kombinatorisches Optimierungsproblem über die Menge der zulässigen extremalen Strukturen zu definieren. Das Ergebnis dieses Ansatzes ist daher immer konsistent in Bezug auf die Topologie von dem Definitionsgebiet. Zusätzlich definiert die Lösung des Optimierungsproblems eine natürliche Hierarchie der extremalen Struktur des Datensatzes. Diese Hierarchie kann benutzt werden, um die von eventuell vorhandenem Rauschen induzierte extremale Struktur zu entfernen, oder, um ausschließlich die essentielle extremale Struktur eines Datensatzes zu extrahieren. Im Kontext dieses allgemeinen Ansatzes wurden effiziente Algorithmen entwickelt und ihre Anwendbarkeit wurde für zweidimensionale Skalarfelder, divergenzfreie Vektorfelder, allgemeine Vektorfelder und zeitabhängige Skalarfelder, untersucht. Die Praxistauglichkeit dieses kombinatorischen Ansatzes zur Datenanalyse wird weiterhin substantiviert durch Anwendungen in der Fluiddynamik und als Ausgangspunkt für ein globales Wichtigkeitsmaß für kritische Punkte. Zusätzlich wurde dieser Ansatz auf dreidimensionale Skalarfelder erweitert und diente als Basis für eine Speicherplatz effiziente Berechnung von persistenter Homologie. Advisors/Committee Members: m (gender), Dr. Ingrid Hotz (firstReferee), Prof. Dr. Thomas Lewiner (furtherReferee).

Subjects/Keywords: topological data analysis; discrete Morse theory; Morse-Smale complex; dynamical systems; 000 Informatik, Informationswissenschaft, allgemeine Werke::000 Informatik, Wissen, Systeme::004 Datenverarbeitung; Informatik; 500 Naturwissenschaften und Mathematik::510 Mathematik::514 Topologie

Record DetailsSimilar RecordsGoogle PlusoneFacebookTwitterCiteULikeMendeleyreddit

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APA (6th Edition):

Reininghaus, J. (2012). Algorithmische Diskrete Morse-Theorie. (Thesis). Freie Universität Berlin. Retrieved from http://dx.doi.org/10.17169/refubium-10396

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Chicago Manual of Style (16th Edition):

Reininghaus, Jan. “Algorithmische Diskrete Morse-Theorie.” 2012. Thesis, Freie Universität Berlin. Accessed December 13, 2019. http://dx.doi.org/10.17169/refubium-10396.

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MLA Handbook (7th Edition):

Reininghaus, Jan. “Algorithmische Diskrete Morse-Theorie.” 2012. Web. 13 Dec 2019.

Vancouver:

Reininghaus J. Algorithmische Diskrete Morse-Theorie. [Internet] [Thesis]. Freie Universität Berlin; 2012. [cited 2019 Dec 13]. Available from: http://dx.doi.org/10.17169/refubium-10396.

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Council of Science Editors:

Reininghaus J. Algorithmische Diskrete Morse-Theorie. [Thesis]. Freie Universität Berlin; 2012. Available from: http://dx.doi.org/10.17169/refubium-10396

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Not specified: Masters Thesis or Doctoral Dissertation

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