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1. Du crest de villeneuve, Ann. Fonctions tau polynomiales et topologique des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov : Polynomial and topological tau functions of the Drinfeld–Sokolov hierarchies.

Degree: Docteur es, Mathématiques, 2018, Angers

Cette thèse traite du calcul et des applications des fonctions tau des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov introduites en 1984. Les hiérarchies de Drinfeld–Sokolov sont des suites d’équations aux dérivées partielles intégrables que l’on associe à n’importe quelle algèbre de Lie semi simple. La fonction tau est une fonction associée à toute solution d’une hiérarchie donnée et qui contient toute l’information de la solution. Les fonctions tau sont au cœur des liens qui unissent les hiérarchies de Drinfeld–Sokolov et la géométrie algébrique. Au chapitre 3, nous établissons une transformation explicite entre les fonctions tau polynomiales de la hiérarchie de Korteweg–de Vries (associée à l’algèbre sl(2,C)) et les polynômes d’Adler–Moser (1978). Ces derniers forment une suite de polynômes satisfaisant une certaine relation de récurrence différentielle. Le chapitre 4 traite du calcul des fonctions tau polynomiales par les déterminants de Toeplitz ; une méthode introduite par Cafasso et Wu (2015). En collaboration avec Cafasso et Yang, nous avons obtenu une expansion de la fonction tau en une somme sur les partitions d’entiers. Nous en déduisons un critère de polynomialité de la fonction tau et donnons quelques exemples non triviaux. Au chapitre 5, en collaboration avec Paolo Rossi, nous confirmons la conjecture dite « DR/DZ forte » dans le cas de l’algèbre de Lie simple o(8,C) (D4). Elle prévoit l’équivalence, en particulier, entre les hiérarchies de Drinfeld–Sokolov et d’autres hiérarchies dites de « double ramification, » introduite par Buryak (2015) et construites à partir de la cohomologie de l’espace de modules des courbes complexes stables Mg,n.

This thesis deals with the computation and applications of tau functions of the Drinfeld– Sokolov hierarchies introduced in 1984. The Drinfeld– Sokolov hierarchies are sequences of integrable partial differential equations which one associates to any semisimple Lie algebra. The tau function is a function associated to any solution of a given hierarchy and which contains all the information of the solution. Tau functions are at the heart of the bonds between Drinfeld–Sokolov hierarchies and algebraic geometry. In Chapter 3, we establish an explicit transformation between the polynomial tau functions of the Korteweg–de Vries hierarchy (associated to the algebra sl(2,C)) and the Adler–Moser polynomials (1978). The latter form a sequence of polynomials satisfying a certain differential recursion relation. Chapter 4 is dedicated to the computation of tau functions via Toeplitz determinants; a method introduced by Cafasso and Wu (2015). In collaboration with Cafasso and Yang, we obtained an expansion of the tau function as a sum over all integer partitions. It follows a simple criterion for the polynomiality of the tau function; we give some nontrivial examples. In Chapter 5, in collaboration with Paolo Rossi, we confirm the so-called ‘strong DR/DZ conjecture’ for the algebra o(8,C) (D4). The latter states an equivalence between, in particular, Drinfeld–Sokolov hierarchies and…

Advisors/Committee Members: Cafasso, Mattia (thesis director), Roubtsov, Vladimir (thesis director), Rossi, Paolo (thesis director).

Subjects/Keywords: Algèbres de Lie affines; Hiérarchies de Drinfeld–Sokolov; Fonctions tau; Hiérarchie de double ramification; Integrable systems; Affine Lie algebras; Drinfeld–Sokolov hierarchies; Tau functions; Double ramification hierarchies; 510

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Du crest de villeneuve, A. (2018). Fonctions tau polynomiales et topologique des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov : Polynomial and topological tau functions of the Drinfeld–Sokolov hierarchies. (Doctoral Dissertation). Angers. Retrieved from http://www.theses.fr/2018ANGE0019

Chicago Manual of Style (16th Edition):

Du crest de villeneuve, Ann. “Fonctions tau polynomiales et topologique des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov : Polynomial and topological tau functions of the Drinfeld–Sokolov hierarchies.” 2018. Doctoral Dissertation, Angers. Accessed October 25, 2020. http://www.theses.fr/2018ANGE0019.

MLA Handbook (7th Edition):

Du crest de villeneuve, Ann. “Fonctions tau polynomiales et topologique des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov : Polynomial and topological tau functions of the Drinfeld–Sokolov hierarchies.” 2018. Web. 25 Oct 2020.

Vancouver:

Du crest de villeneuve A. Fonctions tau polynomiales et topologique des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov : Polynomial and topological tau functions of the Drinfeld–Sokolov hierarchies. [Internet] [Doctoral dissertation]. Angers; 2018. [cited 2020 Oct 25]. Available from: http://www.theses.fr/2018ANGE0019.

Council of Science Editors:

Du crest de villeneuve A. Fonctions tau polynomiales et topologique des hiérarchies de Drinfeld–Sokolov : Polynomial and topological tau functions of the Drinfeld–Sokolov hierarchies. [Doctoral Dissertation]. Angers; 2018. Available from: http://www.theses.fr/2018ANGE0019

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